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Suites numériques et Récurrence

Démonstration par récurrence

La démonstration par récurrence est une méthode de preuve utilisée pour établir qu'une assertion est vraie pour tous les entiers naturels. Elle repose sur les étapes suivantes :

  1. Base de la récurrence : Vérifier que l'assertion est vraie pour un cas de départ, généralement pour \( n = 0 \) ou \( n = 1 \).
  2. Hypothèse de récurrence : Supposer que l'assertion est vraie pour un entier naturel \( k \).
  3. Pas de récurrence : Montrer que si l'assertion est vraie pour \( k \), alors elle est aussi vraie pour \( k + 1 \).

Si ces trois étapes sont satisfaites, l'assertion est alors vraie pour tous les entiers naturels.

Éléments de la démonstration

  • Base de la récurrence : Vérification de l'assertion pour \( n = 0 \) ou \( n = 1 \).
  • Hypothèse de récurrence : Supposition que l'assertion est vraie pour \( n = k \).
  • Pas de récurrence : Démonstration que l'assertion est vraie pour \( n = k + 1 \).

Exercice

Montrer par récurrence que pour tout entier naturel \( n \), la formule suivante est vraie : \[ S(n) = 1 + 2 + 3 + \ldots + n = \frac{n(n + 1)}{2} \]

Résolution

1. Base de la récurrence : Pour \( n = 0 \) :

\[ S(0) = 0 = \frac{0(0 + 1)}{2} \] La base est vérifiée.

2. Hypothèse de récurrence : Supposons que la formule est vraie pour \( n = k \), c'est-à-dire :

\[ S(k) = 1 + 2 + 3 + \ldots + k = \frac{k(k + 1)}{2} \]

3. Pas de récurrence : Montrons que cela implique que la formule est vraie pour \( n = k + 1 \) :

\[ S(k + 1) = S(k) + (k + 1) \] En utilisant l'hypothèse de récurrence, nous remplaçons \( S(k) \) : \[ S(k + 1) = \frac{k(k + 1)}{2} + (k + 1) \] Mettons \( (k + 1) \) sous forme de fraction : \[ S(k + 1) = \frac{k(k + 1)}{2} + \frac{2(k + 1)}{2} = \frac{k(k + 1) + 2(k + 1)}{2} \] En factorisant \( (k + 1) \) : \[ S(k + 1) = \frac{(k + 1)(k + 2)}{2} \]

4. Conclusion : Par récurrence, nous avons prouvé que \( S(n) = \frac{n(n + 1)}{2} \) est vraie pour tout entier naturel \( n \).

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Comportement d'une suite : suites monotones, suites majorées/minorées

Les suites numériques peuvent présenter des comportements variés en fonction de leur construction. Dans cette partie, nous allons explorer deux notions fondamentales concernant le comportement des suites : les suites monotones et les suites majorées/minorées.

Suite monotone

Une suite \( (u_n) \) est dite monotone si elle est soit croissante, soit décroissante.

Suite croissante

Une suite \( (u_n) \) est croissante si, pour tout entier \( n \), \( u_{n+1} \geq u_n \).

Suite décroissante

Une suite \( (u_n) \) est décroissante si, pour tout entier \( n \), \( u_{n+1} \leq u_n \).

Suite majorée

Une suite \( (u_n) \) est majorée s'il existe un réel \( M \) tel que, pour tout entier \( n \), \( u_n \leq M \).

Suite minorée

Une suite \( (u_n) \) est minorée s'il existe un réel \( m \) tel que, pour tout entier \( n \), \( u_n \geq m \).

Les notions de suites majorées et minorées sont essentielles pour étudier la convergence des suites.

Exercice

Soit la suite définie par \( u_n = \frac{1}{n} \). Montrez que cette suite est monotone et déterminez si elle est majorée et minorée.

Résolution

- Pour \( n \in \mathbb{N}^* \), on a \( u_n = \frac{1}{n} \) et \( u_{n+1} = \frac{1}{n+1} \).
- On observe que \( u_{n+1} < u_n \) car \( n < n + 1 \).
- Par conséquent, la suite \( (u_n) \) est décroissante.
- Pour la majoration, observons que \( u_n = \frac{1}{n} \leq 1 \) pour tout \( n \geq 1 \), donc la suite est majorée par \( M = 1 \).
- Pour la minoration, on constate que \( u_n = \frac{1}{n} > 0 \) pour tout \( n \geq 1 \), ce qui montre que la suite est minorée par \( m = 0 \).
- En résumé, la suite \( (u_n) \) est décroissante, majorée par \( M = 1 \) et minorée par \( m = 0 \).

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Capacités attendues

  • Utiliser la démonstration par récurrence pour établir des propriétés de suites numériques.
  • Analyser le comportement des suites monotones et déterminer leur convergence.
  • Identifier et justifier si une suite est majorée ou minorée.
  • Appliquer des concepts de suites numériques pour résoudre des problèmes mathématiques.
  • Interpréter graphiquement le comportement des suites.
  • Rédiger des arguments mathématiques clairs et structurés.