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Représentation paramétrique et Equation cartésienne

Représentation paramétrique de droite à l'aide d'un vecteur directeur

Dans l'espace à trois dimensions, une droite peut être représentée de manière paramétrique en utilisant un point et un vecteur directeur.

Soit \( A(x_A, y_A, z_A) \) un point de la droite et \( \vec{u}(x_u, y_u, z_u) \) un vecteur directeur de cette droite. La représentation paramétrique de la droite notée \( D \) peut être écrite sous la forme suivante :

\[ \begin{cases} x = x_A + x_u t \\ y = y_A + y_u t \\ z = z_A + z_u t \end{cases} \]

où \( t \) est un paramètre réel qui varie dans \( \mathbb{R} \>.

Les caractéristiques de la représentation paramétrique sont les suivantes :

  • Point de départ : Le point \( A(x_A, y_A, z_A) \) permet de localiser la droite dans l'espace.
  • Vecteur directeur : Le vecteur \( \vec{u}(x_u, y_u, z_u) \) donne la direction de la droite. Les valeurs de \( x_u \), \( y_u \) et \( z_u \) déterminent l'orientation de la droite dans l'espace.

Éléments de la représentation paramétrique

  • Point de la droite : \( A(x_A, y_A, z_A) \)
  • Vecteur directeur : \( \vec{u}(x_u, y_u, z_u) \)
  • Représentation paramétrique : Système d'équations reliant \( x \), \( y \), \( z \) à \( t \)

Exercice

Soit le point \( A(1, 2, 3) \) et le vecteur directeur \( \vec{u}(2, -1, 4) \). Écrire la représentation paramétrique de la droite passant par le point \( A \) dans la direction de \( \vec{u} \).

Résolution

Nous avons :

  • Point de la droite : \( A(x_A, y_A, z_A) = A(1, 2, 3) \)
  • Vecteur directeur : \( \vec{u}(x_u, y_u, z_u) = \vec{u}(2, -1, 4) \)

En appliquant la formule de la représentation paramétrique de la droite, nous pouvons écrire les équations :

\[ \begin{cases} x = x_A + x_u t \\ y = y_A + y_u t \\ z = z_A + z_u t \end{cases} \]

En remplaçant \( (x_A, y_A, z_A) \) par \( (1, 2, 3) \) et \( (x_u, y_u, z_u) \) par \( (2, -1, 4) \), nous obtenons :

\[ \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 2 - t \\ z = 3 + 4t \end{cases} \]

Ainsi, la représentation paramétrique de la droite \( D \) est donnée par :

\[ \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 2 - t \\ z = 3 + 4t \end{cases} \]

Cette représentation permet de déterminer tous les points \( (x, y, z) \) de la droite en faisant varier le paramètre \( t \) dans \( \mathbb{R} \).

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Caractérisation des points d'un plan grâce à un vecteur normal

La caractérisation des points d'un plan dans l'espace tridimensionnel peut être effectuée grâce à un vecteur normal. Un vecteur normal est un vecteur perpendiculaire à la surface du plan.

Vecteur Normal

Un vecteur \( \vec{n} = (a, b, c) \) qui est perpendiculaire au plan.

Point

Un point \( A(x_A, y_A, z_A) \) appartenant au plan.

Équation Cartésienne du Plan

L'équation du plan est donnée par :
\( a(x - x_A) + b(y - y_A) + c(z - z_A) = 0 \)

Forme Standard

L'équation cartésienne peut également être écrite sous la forme :
\( ax + by + cz + d = 0 \) où \( d = - (ax_A + by_A + cz_A) \)

Exercice Résolu

Exercice

Soit le plan \( P \) défini par le point \( A(2, 3, 4) \) et le vecteur normal \( \vec{n} = (1, -2, 3) \). Établissez l'équation cartésienne de ce plan.

Résolution

1. Identifions les coefficients du vecteur normal : \( a = 1 \), \( b = -2 \), \( c = 3 \).

2. Utilisons les coordonnées du point \( A(2, 3, 4) \) pour déterminer la constante \( d \):

\[ d = - (1 \cdot 2 + (-2) \cdot 3 + 3 \cdot 4) \]

\[ d = - (2 - 6 + 12) \]

\[ d = - (2 - 6 + 12) = -8 \]

3. Ainsi, l'équation du plan \( P \) est :

\[ 1x - 2y + 3z - 8 = 0 \]

ou, en forme standard :

\[ x - 2y + 3z = 8 \]

Nous avons donc établi l'équation cartésienne du plan \( P \), qui est \( x - 2y + 3z = 8 \).

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Capacités attendues

  • Comprendre et utiliser la représentation paramétrique des droites dans l'espace.
  • Identifier et formuler l'équation cartésienne d'une droite à partir d'un vecteur directeur.
  • Caractériser les points d'un plan à l'aide d'un vecteur normal.
  • Établir l'équation cartésienne d'un plan en utilisant un vecteur normal.
  • Appliquer les concepts de représentation paramétrique et d'équations cartésiennes à des problèmes géométriques concrets.
  • Développer des compétences en visualisation et en modélisation dans l'espace tridimensionnel.