Primitives

Définition de la primitive d'une fonction

Soit \( f : I \rightarrow \mathbb{R} \) une fonction définie sur un intervalle \( I \). On dit qu'une fonction \( F : I \rightarrow \mathbb{R} \) est une primitive de \( f \) sur \( I \) si pour tout \( x \in I \), la dérivée de \( F \) est égale à \( f \), c'est-à-dire :

\( F'(x) = f(x) \)

Cela signifie que \( F \) "récupère" la fonction \( f \) lorsque l'on prend sa dérivée.

Lien avec la continuité

Si \( F \) est une primitive de \( f \) sur \( I \), alors \( F \) est continue sur \( I \). En effet, une fonction \( F \) est continue sur un intervalle si la dérivée de \( F \) existe à chaque point de cet intervalle et que \( F' \) est intégrable. Cela montre l'importance de la continuité dans la relation entre une fonction et ses primitives.

Déterminer toutes les primitives d'une fonction

Les primitives d'une fonction ne sont pas uniques. Si \( F \) est une primitive de \( f \), alors toute fonction de la forme :

\( F + C \)

où \( C \) est une constante réelle, est également une primitive de \( f \). Ainsi, pour déterminer toutes les primitives d'une fonction \( f \), il suffit de trouver une primitive \( F \) et d'ajouter une constante.

Déterminer l'unique primitive d'une fonction à l'aide d'une condition initiale

Lorsqu'une condition initiale est donnée, par exemple \( F(a) = b \) pour \( a \in I \) et \( b \in \mathbb{R} \), il est possible de déterminer l'unique primitive de \( f \) qui satisfait cette condition. Pour ce faire, on suit ces étapes :

Trouver une primitive générale \( F \) de la fonction \( f \).
Appliquer la condition initiale pour déterminer la constante \( C \) :

\( F(a) + C = b \implies C = b - F(a) \)

Exercice

Soit \( f(x) = 2x \). Déterminez une primitive de \( f \) et trouvez l'unique primitive qui satisfait la condition initiale \( F(1) = 3 \).

Résolution

1. Déterminons une primitive \( F \) de \( f \) :

Nous cherchons une fonction \( F \) telle que \( F'(x) = 2x \).

On sait que la primitive de \( 2x \) est :

\( F(x) = x^2 + C \)

où \( C \) est une constante.

2. Appliquons la condition initiale :

Nous avons la condition \( F(1) = 3 \).

Remplaçons \( x \) par \( 1 \) dans l'expression de \( F \) :

\( F(1) = 1^2 + C = 1 + C \)

Nous savons que \( F(1) = 3 \), donc nous avons :

\( 1 + C = 3 \)

En résolvant pour \( C \) :

\( C = 3 - 1 = 2 \)

3. Conclusion :

L'unique primitive de \( f \) qui satisfait la condition initiale \( F(1) = 3 \) est :

\( F(x) = x^2 + 2 \)

Primitives des fonctions de référence et compositions

La notion de primitive d'une fonction est essentielle pour le calcul intégral. Dans cette section, nous allons explorer les primitives de certaines fonctions de référence ainsi que les opérations sur celles-ci, en particulier les compositions de fonctions.

Primitives des fonctions de référence

Fonction	Primitive générale
Constante \( c \)	\( F(x) = c \times x + C \)
\( x^n \) (avec \( n \neq -1 \))	\( F(x) = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \)
\( \frac{1}{x} \)	\( F(x) = \ln\|x\| + C \)
\( \sin(x) \)	\( F(x) = -\cos(x) + C \)
\( \cos(x) \)	\( F(x) = \sin(x) + C \)
\( e^x \)	\( F(x) = e^x + C \)

Primitives et compositions

Expression	Primitive générale
\( u' \cdot u^n \) (avec \( n \neq -1 \))	\( F(x) = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C \)
\( \frac{u'}{u^2} \)	\( F(x) = -\frac{1}{u} + C \)
\( \frac{u'}{u} \)	\( F(x) = \ln\|u\| + C \)
\( \frac{u'}{2\sqrt{u}} \)	\( F(x) = \sqrt{u} + C \)
\( u' \cdot e^u \)	\( F(x) = e^u + C \)
\( u' \cdot v(u) \)	\( F(x) = v(u) + C \)

Exercice

Soit la fonction \( f(x) = 3x^2 + 4 \). Déterminez toutes les primitives de cette fonction.

Résolution

Pour déterminer les primitives de la fonction \( f(x) = 3x^2 + 4 \), nous allons appliquer les formules des primitives des fonctions de référence.

Calcul des primitives :
- Pour la première partie \( 3x^2 \), on utilise la formule : \[ F(x) = \frac{x^{2+1}}{2+1} + C_1 = \frac{x^3}{3} + C_1 \]
- Pour la seconde partie \( 4 \), en utilisant la formule de la primitive d'une constante : \[ F(x) = 4 \times x + C_2 \]
Résultat final : En combinant les deux résultats, nous avons : \[ F(x) = \frac{x^3}{3} + 4x + C \] Où \( C = C_1 + C_2 \) est une constante d'intégration.

Ainsi, toutes les primitives de la fonction \( f(x) = 3x^2 + 4 \) sont données par : \[ F(x) = \frac{x^3}{3} + 4x + C \]

Capacités attendues

Comprendre et définir la notion de primitive d'une fonction.
Établir le lien entre la primitive et la continuité d'une fonction.
Déterminer toutes les primitives d'une fonction donnée.
Utiliser une condition initiale pour identifier l'unique primitive d'une fonction.
Calculer les primitives des fonctions de référence telles que les constantes, les fonctions polynomiales, trigonométriques et exponentielles.
Appliquer des opérations sur les primitives de fonctions.
Comprendre et appliquer les compositions de fonctions en relation avec les primitives.

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