Matez les Maths

Loi des grands nombres

Transformation affine de variables aléatoires

Une variable aléatoire \(X\) peut être transformée de manière affine. Cette transformation prend la forme suivante :

\(Y = aX + b\)

où \(a\) et \(b\) sont des constantes. Cette transformation modifie à la fois l'espérance et la variance de la variable aléatoire. Les formules suivantes s'appliquent :

Espérance

L'espérance de la variable aléatoire transformée \(Y\) est donnée par :

\(\mathbb{E}(Y) = \mathbb{E}(aX + b) = a \mathbb{E}(X) + b\)

Variance

La variance de la variable aléatoire transformée \(Y\) est donnée par :

\(\text{Var}(Y) = \text{Var}(aX + b) = a^2 \text{Var}(X)\)

Si \(X_1\) et \(X_2\) sont deux variables aléatoires indépendantes, les propriétés suivantes s'appliquent :

Espérance de la somme

\(\mathbb{E}(X_1 + X_2) = \mathbb{E}(X_1) + \mathbb{E}(X_2)\)

Variance de la somme

\(\text{Var}(X_1 + X_2) = \text{Var}(X_1) + \text{Var}(X_2)\)

Notion Formule
Espérance de \(Y\) \(\mathbb{E}(Y) = a \mathbb{E}(X) + b\)
Variance de \(Y\) \(\text{Var}(Y) = a^2 \text{Var}(X)\)
Espérance de la somme \(\mathbb{E}(X_1 + X_2) = \mathbb{E}(X_1) + \mathbb{E}(X_2)\)
Variance de la somme \(\text{Var}(X_1 + X_2) = \text{Var}(X_1) + \text{Var}(X_2)\)

Exercice

Soit \(X\) une variable aléatoire dont l'espérance est \(\mathbb{E}(X) = 4\) et la variance est \(\text{Var}(X) = 9\). Considérons la transformation affine \(Y = 3X + 2\). Calculez \(\mathbb{E}(Y)\) et \(\text{Var}(Y)\).

Résolution

Calcul de \(\mathbb{E}(Y)\) :

\(\mathbb{E}(Y) = 3 \mathbb{E}(X) + 2\)

En remplaçant par la valeur de \(\mathbb{E}(X)\) :

\(\mathbb{E}(Y) = 3 \times 4 + 2 = 12 + 2 = 14\)

Calcul de \(\text{Var}(Y)\) :

\(\text{Var}(Y) = 3^2 \text{Var}(X)\)

En remplaçant par la valeur de \(\text{Var}(X)\) :

\(\text{Var}(Y) = 3^2 \times 9 = 9 \times 9 = 81\)

Résultat :

\(\mathbb{E}(Y) = 14\)

\(\text{Var}(Y) = 81\)

1

Inégalités de concentration

Les inégalités de concentration permettent d'estimer la probabilité qu'une variable aléatoire s'écarte de sa valeur moyenne. Elles sont utiles pour évaluer la dispersion des valeurs d'une variable aléatoire.

Inégalité de Markov

Soit \(X\) une variable aléatoire non négative. Pour tout \(a > 0\), on a :

\[ P(X \geq a) \leq \frac{\mathbb{E}[X]}{a} \]

Inégalité de Bienaymé-Tchebytchev

Pour une variable aléatoire \(X\) avec espérance \(\mu = \mathbb{E}[X]\) et variance \(\sigma^2 = \text{Var}(X)\), pour tout \(k > 0\), on a :

\[ P(|X - \mu| \geq k) \leq \frac{\sigma^2}{k^2} \]

Ces inégalités fournissent des bornes sur les probabilités d'écart des valeurs d'une variable aléatoire par rapport à son espérance.

Pour appliquer ces inégalités, on peut utiliser l'intervalle de fluctuation qui indique les valeurs probables d'une variable aléatoire autour de son espérance.

Exercice

On considère une variable aléatoire \(X\) telle que \(\mathbb{E}[X] = 10\) et \(\text{Var}(X) = 4\). Calculez la probabilité que \(X\) soit supérieure ou égale à 12 en utilisant l'inégalité de Markov et l'inégalité de Bienaymé-Tchebytchev.

Résolution

1. **Application de l'inégalité de Markov :**

Nous avons \(a = 12\).

Selon l'inégalité de Markov :

\[ P(X \geq 12) \leq \frac{\mathbb{E}[X]}{12} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6} \approx 0.8333 \]

2. **Application de l'inégalité de Bienaymé-Tchebytchev :**

On prend \(k = 12 - 10 = 2\).

Selon l'inégalité de Bienaymé-Tchebytchev :

\[ P(|X - 10| \geq 2) \leq \frac{4}{2^2} = \frac{4}{4} = 1 \]

Cette inégalité ne donne pas d'information supplémentaire car la probabilité est égale à 1.

En résumé :

  • Inégalité de Markov : \( P(X \geq 12) \leq \frac{5}{6} \)
  • Inégalité de Bienaymé-Tchebytchev : \( P(|X - 10| \geq 2) \leq 1 \)
2

Loi des grands nombres

La loi des grands nombres est un résultat fondamental en probabilité qui décrit le comportement à long terme des moyennes d’échantillons issus d’une même population. Elle établit que, lorsque le nombre d’observations augmente, la moyenne empirique d’un échantillon converge vers l’espérance mathématique de la variable aléatoire.

Moyenne empirique et fréquence empirique

1. Moyenne empirique : Soit \(X_1, X_2, \ldots, X_n\) une suite de \(n\) variables aléatoires identiquement distribuées, chacune ayant une espérance \(\mathbb{E}[X_i] = \mu\). La moyenne empirique est définie comme :

\[ \overline{X_n} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i \]

Selon la loi des grands nombres, lorsque \(n\) tend vers l'infini, \(\overline{X_n}\) converge presque sûrement vers \(\mu\).

2. Fréquence empirique : Si l’on considère un événement \(A\) dont la probabilité est \(P(A)\), la fréquence empirique de cet événement dans un échantillon de \(n\) expériences est donnée par :

\[ f_n(A) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} I_{A}(X_i) \]

où \(I_{A}(X_i)\) est l'indicateur de l'événement \(A\) pour la variable \(X_i\). La loi des grands nombres affirme que \(f_n(A)\) converge vers \(P(A)\) lorsque \(n\) tend vers l'infini.

Loi des grands nombres

La loi des grands nombres se divise principalement en deux formes :

  • Loi des grands nombres faible : Elle affirme que la moyenne empirique converge en probabilité vers l'espérance. Plus formellement, pour tout \(\epsilon > 0\) :

\[ P\left( |\overline{X_n} - \mu| \geq \epsilon \right) \to 0 \quad \text{lorsque } n \to \infty \]

  • Loi des grands nombres forte : Elle affirme que la moyenne empirique converge presque sûrement vers l'espérance :

\[ P\left( \lim_{n \to \infty} \overline{X_n} = \mu \right) = 1 \]

Exercice résolu

Exercice

Dans une expérience de lancer de dé, on s'intéresse à la moyenne des résultats. Effectuez 100 lancers de dé et calculez la moyenne empirique. Puis, vérifiez que la moyenne empirique converge vers l'espérance théorique du lancer de dé (qui est 3,5).

Résolution

  1. Résultats des 100 lancers de dé : Supposons que les résultats des 100 lancers soient les suivants :

\[ 4, 3, 6, 2, 5, 1, 4, 3, 6, 5, \ldots \text{ (jusqu'à 100 valeurs)} \]

  1. Calcul de la somme des résultats : On additionne les résultats :

\[ S_n = 4 + 3 + 6 + 2 + 5 + 1 + 4 + 3 + 6 + 5 + \ldots \quad (\text{Somme totale des 100 lancers}) \]

  1. Calcul de la moyenne empirique :

\[ \overline{X_{100}} = \frac{S_n}{100} \]

  1. Vérification de la convergence vers l'espérance : L'espérance théorique pour un dé à six faces est :

\[ \mu = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{6} = 3,5 \]

Après avoir effectué les calculs, si \(\overline{X_{100}}\) est proche de 3,5, on confirme que la moyenne empirique converge vers l'espérance.

3

Capacités attendues

  • Comprendre et appliquer les transformations affines de variables aléatoires.
  • Calculer l'espérance et la variance de variables aléatoires.
  • Analyser la somme de deux variables aléatoires et ses propriétés.
  • Utiliser les inégalités de concentration pour établir des estimations de probabilités.
  • Interpréter et appliquer l'inégalité de Markov.
  • Interpréter et appliquer l'inégalité de Bienaymé-Tchebytchev.
  • Évaluer les intervalles de fluctuation pour des variables aléatoires.
  • Comprendre la loi des grands nombres et ses implications statistiques.
  • Appliquer la loi des grands nombres à des sommes de variables de loi binomiale.
  • Calculer des fréquences empiriques et des moyennes empiriques.