Loi binomiale

Épreuve de Bernoulli

L'épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire fondamentale qui se caractérise par deux issues possibles : un succès ou un échec. Cette épreuve est utilisée pour modéliser des situations où l'on souhaite étudier la probabilité d'un résultat particulier dans un contexte aléatoire.

Épreuve de Bernoulli

Expérience aléatoire avec deux résultats possibles : succès (1) ou échec (0).

Succès : Résultat de l'épreuve qui est défini comme positif.
Échec : Résultat de l'épreuve qui est défini comme négatif.
Probabilité de succès \( p \) : Probabilité d'obtenir un succès lors de l'épreuve. Elle satisfait \( 0 \leq p \leq 1 \).
Probabilité d'échec \( q \) : Probabilité d'obtenir un échec lors de l'épreuve, avec \( q = 1 - p \).
Indépendance : Les épreuves sont indépendantes : le résultat d'une épreuve n'affecte pas celui d'une autre.

L'épreuve de Bernoulli est souvent utilisée comme base pour d'autres concepts en probabilités, notamment la loi binomiale.

Exercice

On considère une épreuve de Bernoulli où la probabilité de succès est \( p = 0,8 \). Quelle est la probabilité d'obtenir un succès lors de cette épreuve ?

Résolution

1. Identifier les éléments de l'exercice :

Probabilité de succès \( p = 0,8 \)
Probabilité d'échec \( q = 1 - p = 1 - 0,8 = 0,2 \)

2. Calculer la probabilité d'obtenir un succès :

La probabilité d'obtenir un succès lors de l'épreuve est directement donnée par la valeur de \( p \).

3. Énoncer la réponse :

\( P(\text{succès}) = p = 0,8 \)

Conclusion : La probabilité d'obtenir un succès lors de cette épreuve de Bernoulli est \( 0,8 \) ou \( 80\% \).

Loi binomiale : Succession d'épreuves indépendantes de Bernouilli

La loi binomiale modélise une expérience qui consiste en une succession d'épreuves indépendantes, où chaque épreuve peut aboutir à deux résultats possibles : succès ou échec. Nous notons n le nombre total d'épreuves et p la probabilité de succès lors d'une épreuve donnée. Par conséquent, la probabilité d'obtenir k succès dans n épreuves suit la distribution binomiale.

Définition : Loi binomiale

La loi binomiale est définie par les paramètres n et p. La probabilité de réaliser exactement k succès parmi n épreuves est donnée par la formule :

P(X = k) = \binom{n}{k} \times p^k \times (1-p)^{n-k}

où :

\binom{n}{k} est le coefficient binomial, représentant le nombre de façons de choisir k succès parmi n épreuves, calculé par :

\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}

p^k est la probabilité d'obtenir k succès,
(1-p)^{n-k} est la probabilité d'obtenir n-k échecs.

Propriétés de la loi binomiale

La loi binomiale présente plusieurs propriétés essentielles :

Espérance : L'espérance E(X) d'une variable aléatoire X suivant une loi binomiale est donnée par :

E(X) = n \times p

Variance : La variance V(X) est donnée par :

V(X) = n \times p \times (1-p)

Écart-type : L'écart-type \sigma est la racine carrée de la variance :

\sigma = \sqrt{V(X)} = \sqrt{n \times p \times (1-p)}

Exercice

Dans un jeu, un joueur a 70 % de chances de gagner à chaque essai. S'il joue 10 fois, quelle est la probabilité qu'il gagne exactement 7 fois ?

Résolution

Pour résoudre cet exercice, nous allons utiliser la formule de la loi binomiale.

Définition des paramètres :

Nombre d'épreuves : n = 10
Probabilité de succès : p = 0,7
Nombre de succès souhaités : k = 7

Calcul du coefficient binomial :

\binom{10}{7} = \frac{10!}{7!(10-7)!} = \frac{10!}{7! \times 3!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120

Calcul de la probabilité :

P(X = 7) = \binom{10}{7} \times (0,7)^7 \times (1-0,7)^{10-7}

Calculons les termes :

(0,7)^7 \approx 0,0823543
(1-0,7)^{3} = (0,3)^3 = 0,027

Calcul final :

P(X = 7) \approx 120 \times 0,0823543 \times 0,027

P(X = 7) \approx 0,267

La probabilité que le joueur gagne exactement 7 fois est d'environ 0,267 ou 26,7 \%.

Capacités attendues

Comprendre et définir une épreuve de Bernoulli.
Modéliser des situations aléatoires à l'aide de la loi binomiale.
Calculer la probabilité d'un certain nombre de succès dans une succession d'épreuves indépendantes.
Déterminer l'espérance, la variance et l'écart-type d'une loi binomiale.
Interpréter les résultats statistiques liés à des épreuves de Bernoulli.
Appliquer les concepts de la loi binomiale à des problèmes concrets.

Crédits

Librairies :