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Limites de suites numériques

Suites convergentes, suites divergentes et propriétés

Une suite \( (u_n) \) est dite convergente s’il existe un réel \( L \) tel que les termes de la suite se rapprochent indéfiniment de \( L \) lorsque \( n \) tend vers l’infini. Autrement dit, au-delà d'un certain rang \( N \), tous les termes de la suite \( (u_n) \) sont aussi proches que l'on souhaite de \( L \). On dit alors que la suite \( (u_n) \) converge vers \( L \) et on note :

\[ \lim_{n \to +\infty} u_n = L \]

Une suite est divergente si elle n’admet pas de limite finie lorsque \( n \) tend vers l’infini. La divergence peut prendre plusieurs formes :

  • Divergence vers \(+\infty\) : une suite \( (v_n) \) est dite divergente vers \(+\infty\) si, pour tout réel \( A \), il existe un rang \( N \) tel que pour tout \( n \geq N \), \( v_n \geq A \). Autrement dit, les termes de la suite deviennent arbitrairement grands et positifs au-delà d'un certain rang. On note alors :

    • \[ \lim_{n \to +\infty} v_n = +\infty \]

  • Divergence vers \(-\infty\) : une suite \( (w_n) \) est dite divergente vers \(-\infty\) si, pour tout réel \( B \), il existe un rang \( N \) tel que pour tout \( n \geq N \), \( w_n \leq B \). Les termes de la suite deviennent arbitrairement petits et négatifs au-delà d'un certain rang. On note alors :

    • \[ \lim_{n \to +\infty} w_n = -\infty \]

En résumé, les suites divergentes peuvent croître vers \(+\infty\), décroître vers \(-\infty\), ou encore osciller sans jamais se stabiliser.

Exercice

Déterminer si les suites suivantes sont convergentes ou divergentes, et préciser le type de divergence le cas échéant :

  1. La suite \( (a_n) \) définie par \( a_n = \frac{1}{n} \) pour tout entier \( n \geq 1 \).
  2. La suite \( (b_n) \) définie par \( b_n = \sqrt{n} \) pour tout entier \( n \geq 1 \).
  3. La suite \( (c_n) \) définie par \( c_n = -n^2 \) pour tout entier \( n \geq 1 \).

Résolution

Étude de la suite \( (a_n) \) :

La suite \( (a_n) \) est définie par \( a_n = \frac{1}{n} \). Lorsque \( n \) devient très grand, on observe que :

\[ a_n = \frac{1}{n} \to 0 \text{ lorsque } n \to +\infty \]

Plus formellement, pour tout \( \varepsilon > 0 \), on peut choisir \( N = \left\lceil \frac{1}{\varepsilon} \right\rceil \). Alors, pour tout \( n \geq N \), on a :

\[ |a_n - 0| = \left| \frac{1}{n} - 0 \right| < \varepsilon \]

Conclusion : La suite \( (a_n) \) est convergente et sa limite est \( 0 \). On note :

\[ \lim_{n \to +\infty} a_n = 0 \]

Étude de la suite \( (b_n) \) :

La suite \( (b_n) \) est définie par \( b_n = \sqrt{n} \). Lorsque \( n \) devient très grand, on constate que :

\[ b_n \to +\infty \text{ lorsque } n \to +\infty \]

Plus formellement, pour tout réel \( A \), on peut choisir \( N = A^2 \). Alors, pour tout \( n \geq N \), on a :

\[ b_n = \sqrt{n} \geq A \]

Conclusion : La suite \( (b_n) \) est divergente vers \( +\infty \). On note :

\[ \lim_{n \to +\infty} b_n = +\infty \]

Étude de la suite \( (c_n) \) :

La suite \( (c_n) \) est définie par \( c_n = -n^2 \). Lorsque \( n \) devient très grand, on constate que :

\[ c_n \to -\infty \text{ lorsque } n \to +\infty \]

Plus formellement, pour tout réel \( B \), on peut choisir \( N = \sqrt{-B} \). Alors, pour tout \( n \geq N \), on a :

\[ c_n = -n^2 \leq B \]

Conclusion : La suite \( (c_n) \) est divergente vers \( -\infty \). On note :

\[ \lim_{n \to +\infty} c_n = -\infty \]

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Opérations sur les limites

Les opérations sur les limites des suites permettent de déterminer la limite de la somme, du produit et du quotient de deux suites convergentes ou divergentes. Nous allons explorer ces opérations en tenant compte des formes indéterminées.

Définition de la forme indéterminée

Une forme indéterminée se produit lorsqu'une limite ne peut pas être déterminée directement par les valeurs des limites des suites en jeu. Les formes indéterminées les plus courantes incluent :

  • +∞ - ∞
  • 0/0
  • ∞/∞
  • ∞ × 0

Propriétés des limites

Pour deux suites \( (u_n) \) et \( (v_n) \), les propriétés suivantes s'appliquent :

  • Si \( \lim_{n \to +\infty} u_n = L_1 \) et \( \lim_{n \to +\infty} v_n = L_2 \), alors :
    • Somme : \( \lim_{n \to +\infty} (u_n + v_n) = L_1 + L_2 \)
    • Produit : \( \lim_{n \to +\infty} (u_n \cdot v_n) = L_1 \cdot L_2 \)
    • Quotient : Si \( L_2 \neq 0 \), alors \( \lim_{n \to +\infty} \frac{u_n}{v_n} = \frac{L_1}{L_2} \)

Exemple :

Soit les suites suivantes : \( u_n = 5n + 4 \) et \( v_n = 3 - 2n \).

Nous allons calculer les limites des opérations entre ces deux suites.

Exercice

Calculez les limites suivantes lorsque \( n \) tend vers l'infini :

  1. \( \lim_{n \to +\infty} (u_n + v_n) \)
  2. \( \lim_{n \to +\infty} (u_n \cdot v_n) \)
  3. \( \lim_{n \to +\infty} \frac{u_n}{v_n} \)

Résolution

1. Pour la somme :

Calculons \( u_n + v_n = (5n + 4) + (3 - 2n) = 3n + 7 \).

La limite est :

\[ \lim_{n \to +\infty} (3n + 7) = +\infty \]

2. Pour le produit :

Nous avons :

\[ \lim_{n \to +\infty} (u_n \cdot v_n) = +\infty \cdot (-\infty) = -\infty \]

3. Pour le quotient :

Nous avons :

\[ \frac{u_n}{v_n} = \frac{5n + 4}{3 - 2n} \] En factorisant par le terme de plus haut degré : \[ = \frac{5 + \frac{4}{n}}{-2 + \frac{3}{n}} \] Ainsi, la limite est : \[ \lim_{n \to +\infty} \frac{5 + 0}{-2 + 0} = -\frac{5}{2} \]
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Limites et comparaison

Dans cette section, nous allons étudier les limites de suites en utilisant deux théorèmes fondamentaux : le théorème de comparaison et le théorème des gendarmes. Ces théorèmes nous aident à établir la convergence ou la divergence d'une suite en fonction de suites connues.

Théorème de comparaison

Le théorème de comparaison est utilisé pour les limites infinies de suites. Ce théorème nous permet de conclure la divergence d'une suite en la comparant à une suite connue qui diverge.

  • Définition : Soit (u_n) et (v_n) deux suites réelles positives. Si pour tout n suffisamment grand, u_n \geq v_n et si \lim_{n \to +\infty} v_n = +\infty ou \lim_{n \to +\infty} v_n = -\infty, alors \lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty ou \lim_{n \to +\infty} u_n = -\infty respectivement.
Condition sur les suites Limite de v_n Limite de u_n
u_n \geq v_n +\infty +\infty
-\infty -\infty

Théorème des gendarmes

Le théorème des gendarmes est essentiel pour évaluer la limite d'une suite encadrée entre deux autres suites convergentes. Il énonce que si une suite (u_n) est majorée et minorée par deux autres suites (v_n) et (w_n) qui convergent vers la même limite L, alors la suite (u_n) converge également vers L.

  • Définition : Soit (u_n), (v_n), et (w_n) trois suites réelles. On dit que (u_n) est encadrée entre (v_n) et (w_n) à partir d’un certain rang N si pour tout n \geq N, v_n \leq u_n \leq w_n. Si les suites (v_n) et (w_n) convergent toutes deux vers L, alors (u_n) converge aussi vers L.
Condition sur les suites Limite de v_n Limite de u_n Limite de w_n
v_n \leq u_n \leq w_n L L L

Exercice

Montrez que la suite définie par u_n = \frac{4n + \cos(n)}{1 - 5n} diverge en utilisant le théorème des gendarmes.

Résolution

1. Encadrement de \cos(n) :

On sait que \cos(n) est borné par -1 et 1 pour tout n. On peut donc écrire :

-1 \leq \cos(n) \leq 1

2. Encadrement de u_n :

En utilisant l'encadrement de \cos(n), nous pouvons encadrer u_n :

u_n = \frac{4n + \cos(n)}{1 - 5n}

En substituant -1 et 1 dans l'expression pour \cos(n), nous obtenons :

u_n \text{ est encadré par } \frac{4n - 1}{1 - 5n} \text{ et } \frac{4n + 1}{1 - 5n}

Ainsi, nous avons :

\frac{4n - 1}{1 - 5n} \leq u_n \leq \frac{4n + 1}{1 - 5n}

3. Analyse des limites :

Pour n très grand, nous allons examiner les limites des bornes :

- Limite de la borne inférieure :

\lim_{n \to +\infty} \frac{4n - 1}{1 - 5n} = \lim_{n \to +\infty} \frac{4 - \frac{1}{n}}{-5 + \frac{1}{n}} = \frac{4}{-5} = -\frac{4}{5}

- Limite de la borne supérieure :

\lim_{n \to +\infty} \frac{4n + 1}{1 - 5n} = \lim_{n \to +\infty} \frac{4 + \frac{1}{n}}{-5 + \frac{1}{n}} = \frac{4}{-5} = -\frac{4}{5}

4. Conclusion :

Les limites des bornes inférieure et supérieure de u_n convergent toutes deux vers - \frac{4}{5}. Par conséquent, d'après le théorème des gendarmes, la suite (u_n) converge vers - \frac{4}{5}.

Ainsi, nous avons montré que la suite définie par u_n converge vers - \frac{4}{5} en utilisant le théorème des gendarmes.

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Limite de suites monotones majorées/minorées

Les limites de suites monotones et des suites majorées/minorées sont des concepts clés pour établir la convergence d'une suite.

  • Suites monotones

    Une suite est dite monotone croissante si pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(u_{n+1} \geq u_n\).

    Une suite est dite monotone décroissante si pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(u_{n+1} \leq u_n\).

    Une suite monotone qui est bornée converge.

  • Suites majorées et minorées

    Une suite est majorée s'il existe un réel \(M\) tel que pour tout \(n\), \(u_n \leq M\).

    Une suite est minorée s'il existe un réel \(m\) tel que pour tout \(n\), \(u_n \geq m\).

Si une suite est à la fois majorée et monotone croissante, alors elle converge vers une limite \(L\) telle que \(L \leq M\).

Si une suite est minorée et monotone décroissante, alors elle converge vers une limite \(L\) telle que \(L \geq m\).

Propriétés des limites des suites monotones

  • Suite monotone croissante majorée : converge vers \(L\) avec \(L \leq M\).
  • Suite monotone décroissante minorée : converge vers \(L\) avec \(L \geq m\).
  • Suite monotone croissante non majorée : diverge vers \(+\infty\).
  • Suite monotone décroissante non minorée : diverge vers \(-\infty\).

Considérons une suite de la forme \(u_n = q^n\) où \(q\) est un nombre réel :

  • Si \(q < 1\), alors \(\lim_{n \to +\infty} q^n = 0\).
  • Si \(q = 1\), alors \(\lim_{n \to +\infty} q^n = 1\).
  • Si \(q > 1\), alors \(\lim_{n \to +\infty} q^n = +\infty\).
  • Si \(q < 0\) et \(q \neq -1\), la suite oscille et ne converge pas.

Si une suite est majorée et monotone croissante, elle converge vers une limite \(L\) telle que \(L \leq M\).

Si une suite est minorée et monotone décroissante, elle converge vers une limite \(L\) telle que \(L \geq m\).

Exercice

Déterminer la limite de la suite \(u_n = \frac{n}{n+1}\) et de la suite \(v_n = q^n\) avec \(q = \frac{1}{2}\).

Résolution

Pour la suite \(u_n = \frac{n}{n+1}\) :

La suite \(u_n\) est croissante. En effet, nous avons :

\[ u_{n+1} - u_n = \frac{n+1}{n+2} - \frac{n}{n+1} = \frac{(n+1)^2 - n(n+2)}{(n+1)(n+2)} = \frac{1}{(n+1)(n+2)} > 0 \]

Elle est majorée par \(1\). Donc, d'après la propriété des suites monotones, elle converge vers une limite \(L\) telle que \(L \leq 1\).

\[ \lim_{n \to +\infty} \frac{n}{n+1} = 1 \]

Pour la suite \(v_n = q^n\) avec \(q = \frac{1}{2}\) :

La suite est de la forme \(u_n = \left(\frac{1}{2}\right)^n\). Étant donné que \(q < 1\), on a :

\[ \lim_{n \to +\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^n = 0 \]

En résumé :

  • \(\lim_{n \to +\infty} \frac{n}{n+1} = 1\)
  • \(\lim_{n \to +\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^n = 0\)
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Capacités attendues

  • Définir et caractériser les suites convergentes et divergentes.
  • Calculer les limites de suites à l'aide des opérations sur les limites.
  • Identifier et lever les formes indéterminées lors du calcul de limites.
  • Appliquer le théorème de comparaison pour évaluer des limites.
  • Utiliser le théorème des gendarmes pour déterminer les limites de suites.
  • Analyser les limites de suites de la forme \(q^n\) et de suites majorées/minorées.
  • Interpréter le comportement asymptotique des suites numériques.
  • Utiliser des justifications rigoureuses dans la démonstration de résultats concernant les limites.