Limites de fonctions

Limites en +∞ et en -∞, asymptote horizontale, limites aux bornes de \(\sqrt{x}\), \(x^n\), \(e^x\)

La limite d'une fonction \(f(x)\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\) ou \(-\infty\) décrit le comportement de la fonction à l'infini.

Définition

On dit que \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = L\) si, pour tout \(\varepsilon > 0\), il existe un réel \(M > 0\) tel que, pour tout \(x > M\), \(|f(x) - L| < \varepsilon\).

Une fonction \(f(x)\) possède une asymptote horizontale à \(y = L\) si \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = L\) ou \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = L\).

Considérons la fonction \(f(x) = \sqrt{x}\) :

\(\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x} = +\infty\)
La fonction \(\sqrt{x}\) n'est pas définie pour \(x < 0\), donc \(\lim_{x \to -\infty} \sqrt{x}\) n'existe pas.

Pour une fonction \(f(x) = x^n\) avec \(n \in \mathbb{R}\) :

\(\lim_{x \to +\infty} x^n = +\infty\) si \(n > 0\)
\(\lim_{x \to +\infty} x^n = 0\) si \(n < 0\)
\(\lim_{x \to -\infty} x^n = -\infty\) si \(n\) est impair
\(\lim_{x \to -\infty} x^n = +\infty\) si \(n\) est pair

Pour la fonction exponentielle \(f(x) = e^x\) :

\(\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty\)
\(\lim_{x \to -\infty} e^x = 0\)

Fonction	Limite en \(+\infty\)	Limite en \(-\infty\)
\(\sqrt{x}\)	+\infty	n'existe pas
\(x^n\) (n > 0)	+\infty	- \infty (n impair) / +\infty (n pair)
\(e^x\)	+\infty	0

Exercice

Calculer les limites suivantes :

\(\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x}\)
\(\lim_{x \to -\infty} x^3\)
\(\lim_{x \to +\infty} e^{-x}\)

Résolution

1. Pour \(\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x}\) : En analysant la fonction \(\sqrt{x}\), lorsque \(x\) augmente sans borne, la valeur de \(\sqrt{x}\) augmente également sans limite.

\(\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x} = +\infty\)

2. Pour \(\lim_{x \to -\infty} x^3\) : La fonction \(x^3\) est une fonction impair, et quand \(x\) tend vers \(-\infty\), \(x^3\) tend également vers \(-\infty\).

\(\lim_{x \to -\infty} x^3 = -\infty\)

3. Pour \(\lim_{x \to +\infty} e^{-x}\) : La fonction \(e^{-x}\) décroît lorsque \(x\) augmente. Ainsi, à l'infini, elle tend vers 0.

\(\lim_{x \to +\infty} e^{-x} = 0\)

Conclusion : Les limites en \(+\infty\) et \(-\infty\) permettent d'étudier le comportement des fonctions à l'infini et d'identifier les asymptotes horizontales.

Limites en un réel \( a \), asymptote verticale

Les limites en un réel \( a \) jouent un rôle crucial dans l'étude des fonctions. La limite de \( f(x) \) lorsque \( x \) tend vers \( a \) est notée : \(\lim_{x \to a} f(x)\). Cette limite existe si \( f(x) \) s'approche d'une valeur unique \( L \) lorsque \( x \) se rapproche de \( a \).

Limite en un réel \( a \)

La limite de \( f(x) \) lorsque \( x \) tend vers \( a \) est la valeur vers laquelle \( f(x) \) se rapproche à mesure que \( x \) s'approche de \( a \).

Asymptote verticale

Une asymptote verticale à \( x = a \) se produit si \( f(x) \) tend vers \( +\infty \) ou \( -\infty \) lorsque \( x \) s'approche de \( a \).

Nous allons maintenant examiner un exemple pour illustrer ces concepts de limite et d'asymptote verticale.

Exercice

Soit la fonction \( f(x) = \frac{1}{x - 2} \). Déterminez la limite de \( f(x) \) lorsque \( x \) tend vers 2. Précisez également s'il y a une asymptote verticale en \( x = 2 \).

Résolution

Nous devons examiner le comportement de \( f(x) \) lorsque \( x \) se rapproche de 2.

Limite par la gauche :

\(\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} \frac{1}{x - 2}\)

À mesure que \( x \) approche 2 par la gauche, \( x - 2 \) devient un nombre négatif très proche de 0. Ainsi,

\(\lim_{x \to 2^-} f(x) = \frac{1}{\text{valeur négative très proche de } 0} = -\infty\)
Limite par la droite :

\(\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} \frac{1}{x - 2}\)

À mesure que \( x \) approche 2 par la droite, \( x - 2 \) devient un nombre positif très proche de 0. Ainsi,

\(\lim_{x \to 2^+} f(x) = \frac{1}{\text{valeur positive très proche de } 0} = +\infty\)

Conclusion :

Les limites latérales sont différentes :

\(\lim_{x \to 2^-} f(x) = -\infty\)
\(\lim_{x \to 2^+} f(x) = +\infty\)

Par conséquent, la limite \(\lim_{x \to 2} f(x)\) n'existe pas et il y a une asymptote verticale en \( x = 2 \).

Limites de composition de fonctions et limite de la forme \(f(n)\)

Dans ce chapitre, nous allons aborder les limites de compositions de fonctions et la limite des fonctions sous la forme \(f(n)\), où \(f\) est une fonction et \(n\) une variable qui tend vers une valeur donnée. Ces notions sont essentielles pour analyser le comportement des fonctions composées et des suites.

Définition de la limite d'une composition de fonctions

Soit \(f\) et \(g\) deux fonctions définies sur un intervalle \(I\). On dit que la limite de la composition \(f(g(x))\) lorsque \(x\) tend vers \(a\) est \(L\) si pour tout \(\epsilon > 0\), il existe \(\delta > 0\) tel que si \(0 < |x - a| < \delta\), alors \(|f(g(x)) - L| < \epsilon\).

Il est important de vérifier que la limite de \(g(x)\) lorsque \(x\) tend vers \(a\) existe et qu'elle soit égale à \(b\), afin de pouvoir appliquer la limite de \(f\) en ce point \(b\).

Exercice

Soit \(f(x) = 2x + 1\) et \(g(x) = x^2 - 1\). Déterminez la limite de la composition \(f(g(x))\) lorsque \(x\) tend vers 3.

Résolution

Pour résoudre cet exercice, nous allons suivre les étapes suivantes : 1. Calculer \(g(3)\) : \[ g(3) = 3^2 - 1 = 9 - 1 = 8. \] 2. Calculer la limite de \(f\) lorsque \(g(x)\) tend vers 8 : \[ \lim_{x \to 3} f(g(x)) = f(8). \] 3. Calculer \(f(8)\) : \[ f(8) = 2 \times 8 + 1 = 16 + 1 = 17. \] Donc, la limite de \(f(g(x))\) lorsque \(x\) tend vers 3 est \(17\).

Comparaison de Limites et Croissances Comparées

La comparaison de limites est un outil puissant permettant de déterminer la limite d'une fonction en utilisant l'inégalité entre deux fonctions. Si l'on connaît la limite d'une fonction à l'infini et que l'on peut établir une inégalité entre cette fonction et une autre, on peut en déduire la limite de la seconde fonction.

Comparaison de Limites

Pour deux fonctions \( f(x) \) et \( g(x) \), si l'on a :

\( f(x) \leq g(x) \quad \text{pour } x \text{ assez grand} \)

et que l'on sait que :

\( \lim_{x \to +\infty} f(x) = L \)

alors on peut conclure que :

\( \lim_{x \to +\infty} g(x) \leq L \)

De même, si :

\( g(x) \leq f(x) \quad \text{pour } x \text{ assez grand} \)

et que :

\( \lim_{x \to +\infty} g(x) = M \)

alors :

\( \lim_{x \to +\infty} f(x) \geq M \)

Ces résultats sont particulièrement utiles pour établir les bornes des limites.

Croissances Comparées

Pour comparer les croissances de fonctions lorsque \( x \to +\infty \) ou \( x \to -\infty \), on utilise les limites de formes spécifiques.

Cas 1 : \( \frac{e^x}{x^n} \) en \( +\infty \)

Analysons la fonction :

Nous voulons déterminer la limite :

\( \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} \)
Utilisons la comparaison :

Comme \( e^x \) croît plus rapidement que \( x^n \), il est clair qu'il existe un \( C > 0 \) tel que :

\( \frac{e^x}{x^n} \to +\infty \)
Conclusion :

Ainsi, nous avons :

\( \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty \)

Cas 2 : \( x^n e^x \) en \( -\infty \)

Analysons la fonction :

Nous voulons déterminer la limite :

\( \lim_{x \to -\infty} x^n e^x \)
Comportement des termes :

Lorsque \( x \) tend vers \( -\infty \), \( e^x \) tend vers \( 0 \), tandis que \( x^n \) (pour \( n > 0 \)) tend vers \( -\infty \). Cependant, \( e^x \) décroît plus rapidement que \( x^n \) ne décroît.
Utilisons la comparaison :

Il existe un \( C > 0 \) tel que :

\( |x^n e^x| \to 0 \)
Conclusion :

Ainsi, nous avons :

\( \lim_{x \to -\infty} x^n e^x = 0 \)

Exercice Résolu

Exercice

Soit \( f(x) = e^x \) et \( g(x) = x^n \) avec \( n > 0 \). Déterminez la limite de \( g(x) \) lorsque \( x \) tend vers \( +\infty \) en utilisant la comparaison des limites.

Résolution

Analysons les fonctions :

Nous savons que \( e^x \) croît plus rapidement que \( x^n \) pour \( x \) assez grand. En effet, il est vrai que pour \( x \) grand, \( e^x \) domine \( x^n \).
Établissons l'inégalité :

Pour \( x \) assez grand, il existe un \( C > 0 \) tel que :

\( e^x \geq C \times x^n \)
Limite de \( f(x) \) :

Nous savons que :

\( \lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty \)
Application de la comparaison :

Comme \( e^x \geq C \times x^n \), il s'ensuit que :

\( \lim_{x \to +\infty} x^n \leq +\infty \)
Conclusion :

Donc, nous avons :

\( \lim_{x \to +\infty} x^n = +\infty \)

Ainsi, nous concluons que \( g(x) \) tend vers \( +\infty \) lorsque \( x \) tend vers \( +\infty \).

Capacités attendues

Comprendre et définir les limites de fonctions à l'infini.
Identifier et tracer les asymptotes horizontales et verticales des fonctions.
Calculer les limites aux bornes de fonctions spécifiques telles que \(\sqrt{x}\), \(x^n\), et \(e^x\).
Appliquer les concepts de limites pour les compositions de fonctions.
Comparer les limites de différentes fonctions pour établir des relations de croissance.
Analyser le comportement asymptotique des fonctions exponentielles et polynomiales.

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