Géométrie dans l'espace

Vecteurs dans l'espace, caractérisation vectorielle d'une droite

Dans l'espace tridimensionnel, un vecteur est un objet mathématique qui possède une direction et une longueur (ou norme). Un vecteur \( \vec{u} \) est noté de manière générale sans référence à des coordonnées spécifiques.

Définition d'une droite vectorielle

Une droite dans l'espace peut être caractérisée de manière vectorielle par un point de passage \( A \) et un vecteur directeur \( \vec{u} \). Pour un point \( M \) appartenant à cette droite, il existe un paramètre \( t \) tel que :

\( \vec{AM} = t \cdot \vec{u} \)

où \( \vec{AM} \) est le vecteur reliant le point \( A \) au point \( M \). Cette relation montre que tout point de la droite peut être obtenu en partant du point \( A \) et en ajoutant un multiple du vecteur directeur \( \vec{u} \).

Tableau synthétique des éléments clés

Vecteur \( \vec{u} \) : Un vecteur directeur de la droite
Point \( A \) : Point de passage de la droite
Relation de la droite : \( \vec{AM} = t \cdot \vec{u} \)
Paramètre \( t \) : Un paramètre réel permettant de déterminer les points de la droite

Exercice

Soit un point \( A \) et un vecteur directeur \( \vec{u} \). Écrire l'équation de la droite passant par \( A \) et de direction \( \vec{u} \).

Résolution

Énoncé du point et du vecteur directeur : On considère un point \( A \) et un vecteur directeur \( \vec{u} \).
Écriture de l'équation de la droite :
La droite peut être exprimée à l'aide de la relation suivante :

\( \vec{AM} = t \cdot \vec{u} \)

où \( \vec{AM} \) est le vecteur reliant le point \( A \) au point \( M \). Cette relation nous indique que pour chaque valeur du paramètre \( t \), on obtient un point \( M \) sur la droite.
Interprétation :
- Lorsque \( t = 0 \), le point \( M \) est identique au point \( A \).
- Lorsque \( t \) prend des valeurs positives, \( M \) se déplace le long de la direction du vecteur \( \vec{u} \).
- Lorsque \( t \) prend des valeurs négatives, \( M \) se déplace dans la direction opposée.

Conclusion : L'équation de la droite passant par le point \( A \) et de direction \( \vec{u} \) est définie par la relation \( \vec{AM} = t \cdot \vec{u} \), où \( t \) varie dans \( \mathbb{R} \). Cette relation permet de déterminer tous les points de la droite en fonction du paramètre \( t \).

Caractérisation vectorielle d'un plan

La caractérisation d'un plan dans l'espace peut être réalisée à l'aide de deux vecteurs non colinéaires. Un plan \( P \) peut être défini par un point \( A \) et deux vecteurs \( \vec{u} \) et \( \vec{v} \) qui ne sont pas colinéaires.

Définition

Un plan \( P \) est défini par un point \( A \) et deux vecteurs \( \vec{u} \) et \( \vec{v} \) non colinéaires, noté :

\( P = \{ M \in \mathbb{R}^3 \mid \vec{AM} = \alpha \vec{u} + \beta \vec{v}, \, \alpha, \beta \in \mathbb{R} \} \)

où \( M \) est un point du plan et \( \vec{AM} \) est le vecteur reliant le point \( A \) au point \( M \).

Trois points \( A \), \( B \), et \( C \) sont coplanaires si le vecteur \( \vec{AC} \) peut être exprimé comme une combinaison linéaire des vecteurs \( \vec{AB} \) et \( \vec{AM} \), où \( M \) est un point de référence dans le plan :

\( \vec{AC} = \alpha \vec{AB} + \beta \vec{AM} \)

Pour des points \( A(1, 2, 3) \), \( B(2, 3, 4) \), \( C(3, 5, 7) \) et un quatrième point \( D(4, 6, 9) \), ces points sont coplanaires si la relation suivante est vérifiée :

\( \vec{AM} = \alpha \vec{AB} + \beta \vec{AC} \)

Quatre points \( A \), \( B \), \( C \), et \( D \) sont coplanaires si le vecteur \( \vec{AD} \) peut être exprimé comme une combinaison linéaire des vecteurs \( \vec{AB} \) et \( \vec{AC} \).

Exercice

Considérons les points \( A(1, 2, 3) \), \( B(2, 3, 4) \), \( C(3, 5, 7) \) et \( D(4, 6, 9) \). Montrez que ces points sont coplanaires.

Résolution

Calcul des vecteurs :
- \( \vec{AB} = B - A = (2 - 1, 3 - 2, 4 - 3) = (1, 1, 1) \)
- \( \vec{AC} = C - A = (3 - 1, 5 - 2, 7 - 3) = (2, 3, 4) \)
- \( \vec{AD} = D - A = (4 - 1, 6 - 2, 9 - 3) = (3, 4, 6) \)
Vérification de la coplanarité :

Nous vérifions si les points \( A \), \( B \), \( C \) et \( D \) sont coplanaires. Pour cela, nous devons exprimer \( \vec{AD} \) en fonction des vecteurs \( \vec{AB} \) et \( \vec{AC} \).

\( \vec{AD} = \alpha \vec{AB} + \beta \vec{AC} \)

En substituant les valeurs, nous avons :

\( (3, 4, 6) = \alpha (1, 1, 1) + \beta (2, 3, 4) \)

Cela nous donne le système d'équations :

\[ \begin{cases} \alpha + 2\beta = 3 \\ \alpha + 3\beta = 4 \\ \alpha + 4\beta = 6 \end{cases} \]
Résolution du système :

En résolvant les deux premières équations :

\[ \begin{align*} \alpha + 2\beta & = 3 \quad (1) \\ \alpha + 3\beta & = 4 \quad (2) \end{align*} \]

En soustrayant l'équation (1) de l'équation (2) :

\((\alpha + 3\beta) - (\alpha + 2\beta) = 4 - 3 \\ \beta = 1\)

En substituant \( \beta = 1 \) dans l'équation (1) :

\( \alpha + 2(1) = 3 \\ \alpha + 2 = 3 \\ \alpha = 1\)

Ainsi, nous avons trouvé une unique solution :

\( \alpha = 1 \quad \text{et} \quad \beta = 1 \)

Cela montre que les points \( A \), \( B \), \( C \) et \( D \) sont coplanaires.

Position relative de deux droites

La position relative de deux droites est essentielle en géométrie dans l'espace, car elle permet de déterminer comment ces droites se situent les unes par rapport aux autres. Nous considérons deux droites d₁ et d₂ définies par leurs vecteurs directeurs respectifs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\).

Possibilités concernant la position relative de d₁ et d₂

Les droites sont parallèles :

Deux droites sont parallèles si leurs vecteurs directeurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires. Cela signifie qu'il existe un réel \(\lambda\) tel que \(\vec{u} = \lambda \vec{v}\). Dans ce cas, les droites ne se croisent jamais.
Les droites se coupent :

Deux droites se croisent si elles ont des vecteurs directeurs non colinéaires et qu'il existe une unique solution au système d'équations formé par les équations de d₁ et d₂. Elles se rencontrent alors en un point.
Les droites sont non-coplanaires :

Deux droites sont non-coplanaires si elles ne sont pas parallèles et qu'il n'existe pas de plan contenant à la fois d₁ et d₂. Cela signifie que les vecteurs directeurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) ne peuvent pas être exprimés comme des combinaisons linéaires l'un de l'autre.

Exercice

Soit d₁ une droite définie par le vecteur directeur \(\vec{u} = (2, 3, 1)\) et un point A de coordonnées A(1, 2, 3)\. Soit d₂ une autre droite définie par le vecteur directeur \(\vec{v} = (4, 6, 2)\) et un point B de coordonnées B(2, 3, 4)\.

Déterminez la position relative de d₁ et d₂.
Justifiez si les droites sont parallèles, se coupent, ou sont non-coplanaires.

Résolution

Pour vérifier si les droites d₁ et d₂ sont parallèles, nous devons voir si les vecteurs directeurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires.

Nous examinons les vecteurs :

\(\vec{u} = (2, 3, 1) \quad \text{et} \quad \vec{v} = (4, 6, 2)\)

Pour déterminer la colinéarité, nous cherchons un réel \(\lambda\) tel que :

\(\vec{u} = \lambda \vec{v}\)

En analysant les composants :

Pour le premier composant : 2 = \lambda \cdot 4 donc \(\lambda = \frac{1}{2}\).
Pour le deuxième composant : 3 = \lambda \cdot 6 donc \(\lambda = \frac{1}{2}\).
Pour le troisième composant : 1 = \lambda \cdot 2 donc \(\lambda = \frac{1}{2}\).

Comme nous trouvons le même \(\lambda\) pour chaque composant, cela prouve que \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires, ce qui signifie que les droites d₁ et d₂ sont parallèles.

Étant donné que les droites d₁ et d₂ sont parallèles, nous concluons qu'elles ne se coupent pas. De plus, elles ne peuvent pas être non-coplanaires, car deux droites parallèles peuvent être contenues dans un même plan.

Base de l'espace et repère de l'espace

Dans l'espace, une base est un ensemble de vecteurs qui permet de décrire tout vecteur de cet espace par une combinaison linéaire de ces vecteurs. Un repère est constitué d'un point d'origine et d'une base, permettant de situer les points dans l'espace tridimensionnel.

Base de l'espace

Une base de l'espace est un ensemble de trois vecteurs non colinéaires qui génèrent l'ensemble des vecteurs de cet espace par combinaison linéaire.

Repère de l'espace

Un repère de l'espace est défini par un point d'origine \( O \) et une base \( \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} \). Les points de l'espace sont exprimés par des coordonnées par rapport à ce repère.

Dans un repère de l'espace, on associe à chaque point \( P \) un triplet de coordonnées \( (x, y, z) \) tel que :

\[ P = O + x\vec{u} + y\vec{v} + z\vec{w} \]

Exercice

Soit le repère \( (O; \vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) \) avec les vecteurs suivants : \( \vec{u} = (1, 0, 0) \), \( \vec{v} = (0, 1, 0) \), \( \vec{w} = (0, 0, 1) \). Déterminez les coordonnées du point \( P \) qui est représenté par le vecteur \( \vec{p} = 2\vec{u} + 3\vec{v} + 4\vec{w} \).

Résolution

Pour trouver les coordonnées du point \( P \), nous devons écrire le vecteur \( \vec{p} \) en fonction de la base :

\[ \vec{p} = 2\vec{u} + 3\vec{v} + 4\vec{w} \]

En substituant les vecteurs de la base, nous avons :

\[ \vec{p} = 2(1, 0, 0) + 3(0, 1, 0) + 4(0, 0, 1) = (2, 3, 4) \]

Les coordonnées du point \( P \) dans le repère \( (O; \vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) \) sont donc \( (2, 3, 4) \).

Capacités attendues

Comprendre et utiliser les concepts de vecteurs dans l'espace.
Caractériser une droite et un plan à l'aide de vecteurs.
Identifier et décrire des points et vecteurs coplanaires.
Analyser la position relative de deux droites dans l'espace.
Déterminer la position relative d'une droite par rapport à un plan.
Évaluer la position relative de deux plans dans l'espace.
Utiliser des bases et repères pour représenter des objets géométriques dans l'espace.
Appliquer des concepts géométriques à des problèmes concrets.

Crédits

Librairies :

Géométrie dans l'espace

Vecteurs dans l'espace, caractérisation vectorielle d'une droite

Tableau synthétique des éléments clés

Caractérisation vectorielle d'un plan

Position relative de deux droites

Possibilités concernant la position relative de d1 et d2

Base de l'espace et repère de l'espace

Possibilités concernant la position relative de d₁ et d₂