Fonctions trigonométriques

Les fonctions cosinus et sinus sont définies pour un angle \( x \) exprimé en radians :

Définition des fonctions cosinus et sinus

Fonction cosinus : La fonction cosinus est la projection sur l'axe des abscisses du point correspondant à l'angle \( x \) sur le cercle trigonométrique. Sa définition est donnée par : \[ \cos(x) = \text{projeté sur l'axe des abscisses} \]
Fonction sinus : La fonction sinus est la projection sur l'axe des ordonnées du point correspondant à l'angle \( x \) sur le cercle trigonométrique. Sa définition est donnée par : \[ \sin(x) = \text{projeté sur l'axe des ordonnées} \]

Les dérivées des fonctions cosinus et sinus s'expriment comme suit :

Dérivées des fonctions cosinus et sinus

Pour \( f(x) = \cos(x) \) : \[ f'(x) = -\sin(x) \]
Pour \( f(x) = \sin(x) \) : \[ f'(x) = \cos(x) \]

Les limites suivantes sont essentielles pour l'étude des fonctions trigonométriques :

\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1 \]
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\cos(x) - 1}{x} = 0 \]

Exercice

Montrer que \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1\) en utilisant le cercle trigonométrique.

Résolution

Pour démontrer cette limite, considérons un angle \( x \) dans le cercle trigonométrique. La longueur de l'arc correspondant à l'angle \( x \) est égale à \( x \).

Dans le cercle trigonométrique, la projection sur l'axe des ordonnées de l'angle \( x \) est \( \sin(x) \), et la projection sur l'axe des abscisses est \( \cos(x) \).

Nous pouvons établir un rapport géométrique :

Soit \( O \) le centre du cercle trigonométrique et \( A \) le point correspondant à l'angle \( x \). La longueur de l'arc \( OA \) est égale à \( x \).
Le triangle formé par les points \( O \), \( A \) et le projeté de \( A \) sur l'axe des abscisses (noté \( B \)) est un triangle rectangle. La hauteur \( AB \) du triangle est \( \sin(x) \), et la base \( OB \) est \( \cos(x) \).
L'aire du triangle \( OAB \) est : \[ \text{Aire}_{\triangle OAB} = \frac{1}{2} \cdot OB \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot \cos(x) \cdot \sin(x) \]
L'aire du secteur circulaire correspondant à l'angle \( x \) est : \[ \text{Aire}_{\text{secteur}} = \frac{1}{2} \cdot x \]
Ainsi, on peut établir l'inégalité suivante pour \( 0 < x < \frac{\pi}{2} \) : \[ \text{Aire}_{\triangle OAB} < \text{Aire}_{\text{secteur}} < \text{Aire}_{\triangle OAC} \] où \( C \) est le point où la tangente au cercle au point \( A \) intersecte l'axe des ordonnées. L'aire du triangle \( OAC \) est \( \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \tan(x) \).
En simplifiant, on obtient : \[ \frac{1}{2} \cdot \sin(x) < \frac{1}{2} \cdot x < \frac{1}{2} \cdot \tan(x) \]
En divisant par \(\frac{1}{2} \sin(x)\) (qui est positif pour \( x \neq 0 \)), on a : \[ 1 < \frac{x}{\sin(x)} < \frac{1}{\cos(x)} \]
En prenant la limite lorsque \( x \) tend vers 0, nous savons que : \[ \lim_{x \to 0} \cos(x) = 1 \] Ainsi, par le théorème des gendarmes, nous concluons que : \[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1 \]

Cela prouve la limite demandée.

Variations des fonctions cosinus et sinus

Les fonctions cosinus et sinus présentent des propriétés importantes en ce qui concerne leurs variations, leur parité et leur périodicité. Voici un aperçu de chacune de ces notions :

Propriétés des fonctions cosinus et sinus

Fonction sinus :
- La fonction \( f(x) = \sin(x) \) est croissante sur l'intervalle \([- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\).
- Les valeurs de \( f(x) \) oscillent entre -1 et 1.
Fonction cosinus :
- La fonction \( g(x) = \cos(x) \) est décroissante sur l'intervalle \([0, \pi]\).
- Les valeurs de \( g(x) \) oscillent également entre -1 et 1.

Exercice

Soit la fonction \( f(x) = \sin(x) \) et la fonction \( g(x) = \cos(x) \).

Étudiez les variations de \( f(x) \) sur l'intervalle \([- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\).
Montrez que \( g(x) \) est une fonction paire.
Déterminez la période de \( f(x) \) et de \( g(x) \).

Résolution

Étude des variations de \( f(x) = \sin(x) \) sur l'intervalle \([- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\) :
La dérivée de \( f \) est \( f'(x) = \cos(x) \). Sur l'intervalle \([- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\), \( \cos(x) \) est positif. Ainsi, \( f(x) \) est croissante sur cet intervalle.
Montrer que \( g(x) = \cos(x) \) est une fonction paire :
Pour montrer que \( g \) est paire, on doit prouver que \( g(-x) = g(x) \). Nous avons \( g(-x) = \cos(-x) = \cos(x) = g(x) \). Donc, \( g(x) \) est une fonction paire.
Déterminer la période de \( f(x) \) et de \( g(x) \) :
Pour \( f(x) = \sin(x) \), la période est \( 2\pi \) car \( f(x + 2\pi) = \sin(x + 2\pi) = \sin(x) \). Pour \( g(x) = \cos(x) \), la période est également \( 2\pi \) car \( g(x + 2\pi) = \cos(x + 2\pi) = \cos(x) \).

Résolutions d'équation et d'inéquations des fonctions cosinus et sinus

Les fonctions cosinus et sinus permettent de résoudre des équations et des inéquations sur l'intervalle \([-π; π]\). Nous allons aborder la résolution d'équations de la forme \(f(x) = a\) ainsi que des inéquations de la forme \(f(x) < a\).

Équation de la fonction

Une équation de la forme \(f(x) = a\) consiste à trouver les valeurs de \(x\) pour lesquelles la fonction \(f\) prend la valeur \(a\).

Inéquation de la fonction

Une inéquation de la forme \(f(x) < a\) consiste à déterminer les valeurs de \(x\) pour lesquelles la fonction \(f\) est inférieure à \(a\).

Pour les fonctions cosinus et sinus, nous allons examiner les solutions des équations et inéquations en utilisant les propriétés de périodicité, ainsi que les valeurs remarquables des fonctions.

Exercice

Résoudre l'équation \( \cos(x) = \frac{1}{2} \) et l'inéquation \( \sin(x) < 0 \) sur l'intervalle \([-π; π]\).

Résolution

Pour résoudre l'équation \( \cos(x) = \frac{1}{2} \), nous recherchons les valeurs de \(x\) pour lesquelles le cosinus vaut \(\frac{1}{2}\). Les solutions sont :

\( x = -\frac{\pi}{3} \)
\( x = \frac{\pi}{3} \)

Nous pouvons vérifier ces solutions :

\( \cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} \)
\( \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} \)

Pour résoudre l'inéquation \( \sin(x) < 0 \), nous identifions les intervalles où la fonction sinus est négative. Sur l'intervalle \([-π; π]\), \( \sin(x) < 0 \) dans les intervalles :

\( x \in \left(-\pi; 0\right) \)

Nous pouvons conclure que les solutions de l'inéquation sont :

\( x \in \left(-\pi; 0\right) \)

Capacités attendues

Comprendre et utiliser les définitions des fonctions sinus et cosinus.
Analyser les variations des fonctions trigonométriques.
Identifier les propriétés de parité des fonctions cosinus et sinus.
Reconnaître et expliquer la périodicité des fonctions cosinus et sinus.
Résoudre des équations et des inéquations impliquant les fonctions trigonométriques sur l'intervalle \([-π; π]\).
Interpréter graphiquement les résultats des équations et inéquations.
Appliquer les concepts des fonctions trigonométriques à des problèmes pratiques et théoriques.

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