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Fonctions convexes

Fonctions convexes et concaves

Une fonction est convexe sur un intervalle si, pour tous les points \( A \) et \( B \) sur le graphe de la fonction, la droite qui relie ces deux points se trouve toujours au-dessus du graphe entre ces points. Cela signifie que lorsque vous tracez une droite entre deux points de la courbe, la courbe est "au-dessus" de cette droite.

Inversement, une fonction est concave si la droite reliant deux points sur son graphe se trouve toujours en dessous de la courbe entre ces points. Dans ce cas, la courbe est "en dessous" de la droite.

Un point d'inflexion est un point sur la courbe où la fonction change de comportement : si elle est convexe avant ce point, elle devient concave après, ou vice versa. C'est le point où la courbe passe d'une forme à l'autre.

Exercice

Considérons la fonction \( f : [-2, 2] \to \mathbb{R} \) définie par :

\( f(x) = x^2 \)

  1. Vérifiez si la fonction \( f \) est convexe sur l'intervalle \( [-2, 2] \).
  2. Déterminez s'il existe un point d'inflexion pour la fonction \( f \).

Résolution

Pour vérifier que \( f(x) = x^2 \) est convexe, prenons deux points \( x_1 \) et \( x_2 \) dans l'intervalle \( [-2, 2] \) avec \( x_1 < x_2 \).

Traçons la droite sécante reliant les points \( A(x_1, f(x_1)) \) et \( B(x_2, f(x_2)) \).

Calculons les valeurs de ces points :

  • \( A(x_1, f(x_1)) = (x_1, x_1^2) \)
  • \( B(x_2, f(x_2)) = (x_2, x_2^2) \)

La pente de la droite sécante est donnée par :

\( \text{pente} = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} = \frac{x_2^2 - x_1^2}{x_2 - x_1} \)

Cette pente est positive pour \( x_1 < x_2 \). Cela implique que la droite s'élève lorsque l'on passe de \( A \) à \( B \).

Pour n'importe quel point \( x \) situé entre \( x_1 \) et \( x_2 \), le point \( (x, f(x)) = (x, x^2) \) doit être au-dessus de la droite sécante. Par exemple, pour \( x_1 = -1 \) et \( x_2 = 1 \), nous avons :

  • Pour \( x_1 = -1 \), \( f(-1) = 1 \)
  • Pour \( x_2 = 1 \), \( f(1) = 1 \)

La droite sécante passe par les points \( (-1, 1) \) et \( (1, 1) \). Pour tout point \( x \) entre \(-1\) et \(1\), on a :

\( f(x) = x^2 \geq 1 \)

Cela montre que la fonction est convexe sur l'intervalle \( [-2, 2] \).

En examinant la courbe de \( f(x) = x^2 \), on observe que la fonction reste toujours convexe. Ainsi, il n'y a pas de point d'inflexion dans cet intervalle.

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Caractérisation d'une fonction convexe/concave par sa dérivée seconde

Dans cette partie, nous allons examiner comment la dérivée seconde d'une fonction est liée à sa convexité ou concavité. Cette caractérisation nous permettra également d'établir un lien entre la forme de la fonction et la tangente à celle-ci.

  • Caractérisation par la dérivée seconde :
    • Une fonction \( f \) est dite convexe sur un intervalle \( I \) si \( f''(x) > 0 \) pour tout \( x \) dans \( I \).
    • Une fonction \( f \) est concave sur un intervalle \( I \) si \( f''(x) < 0 \) pour tout \( x \) dans \( I \).
  • Lien avec les tangentes :
    • Pour une fonction convexe, la tangente à la courbe de \( f \) en un point \( x_0 \) se situe toujours en dessous de la courbe de \( f \) sur cet intervalle.
    • Pour une fonction concave, la tangente à la courbe de \( f \) en un point \( x_0 \) se situe toujours au-dessus de la courbe de \( f \) sur cet intervalle.
  • Point d'inflexion :
    • Un point \( x_0 \) est appelé point d'inflexion si \( f''(x_0) = 0 \) et si le signe de \( f''(x) \) change autour de \( x_0 \). Cela signifie que la fonction change de convexité (de convexe à concave ou vice versa) en ce point.

Nous allons maintenant appliquer ces concepts à travers un exercice pratique.

Exercice

Soit la fonction \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 4 \).
  1. Déterminez la dérivée seconde \( f''(x) \).
  2. Déterminez les intervalles de convexité et de concavité de \( f \).
  3. Identifiez les points d'inflexion de la fonction.

Résolution

1. Pour déterminer la dérivée seconde, commençons par calculer la première dérivée \( f'(x) \) : \[ f'(x) = 3x^2 - 6x \] Ensuite, nous calculons la dérivée seconde : \[ f''(x) = 6x - 6 \] 2. Pour déterminer les intervalles de convexité et de concavité, nous résolvons l'inéquation : \[ f''(x) > 0 \implies 6x - 6 > 0 \implies x > 1 \] \[ f''(x) < 0 \implies 6x - 6 < 0 \implies x < 1 \] - Ainsi, \( f \) est concave sur l'intervalle \( (-\infty, 1) \) et convexe sur l'intervalle \( (1, +\infty) \). 3. Pour trouver les points d'inflexion, nous cherchons les valeurs où \( f''(x) = 0 \) : \[ 6x - 6 = 0 \implies x = 1 \] Vérifions le changement de signe de \( f''(x) \) autour de \( x = 1 \) : - Pour \( x < 1 \) (par exemple, \( x = 0 \)), \( f''(0) = -6 < 0 \) (concave). - Pour \( x > 1 \) (par exemple, \( x = 2 \)), \( f''(2) = 6 > 0 \) (convexe). Ainsi, \( x = 1 \) est un point d'inflexion.
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Capacités attendues

  • Définir et distinguer les fonctions convexes et concaves.
  • Identifier les points d'inflexion sur une courbe.
  • Utiliser la dérivée seconde pour caractériser la convexité d'une fonction.
  • Analyser le lien entre la convexité d'une fonction et le comportement de ses tangentes.
  • Interpréter graphiquement les notions de convexité, concavité et points d'inflexion.
  • Appliquer les concepts de convexité dans des problèmes d'optimisation.