Fonctions continues

Définition d'une fonction continue

Une fonction \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) est dite continue en un point \( a \in \mathbb{R} \) si les trois conditions suivantes sont vérifiées :

\( f(a) \) est défini.
\( \lim_{x \to a} f(x) \) existe.
\( \lim_{x \to a} f(x) = f(a) \).

En d'autres termes, une fonction est continue en un point si, lorsqu'on s'approche de ce point, la valeur de la fonction s'approche de la valeur de la fonction au point lui-même.

Continuité des fonctions usuelles

Certaines fonctions sont connues pour être continues sur leur domaine. Parmi elles, on trouve :

Les fonctions constantes.
Les fonctions affines : \( f(x) = mx + b \) avec \( m, b \in \mathbb{R} \).
Les fonctions polynomiales.
Les fonctions exponentielles.
Les fonctions trigonométriques (sine, cosine, etc.).
Les fonctions racines carrées sur les réels positifs.

Continuité et dérivabilité

Il est important de noter qu'une fonction continue en un point n'est pas nécessairement dérivable en ce point. La dérivabilité implique une continuité, mais une fonction continue peut présenter des points anguleux ou des discontinuités qui l'empêchent d'être dérivable.

Continuité et suites convergentes

Si une suite \( (x_n) \) converge vers \( a \), alors pour toute fonction continue \( f \), la suite \( (f(x_n)) \) converge vers \( f(a) \). En d'autres termes :

\( \text{Si } \lim_{n \to \infty} x_n = a \text{ alors } \lim_{n \to \infty} f(x_n) = f(a) \)

Exercice

Soit la fonction \( f(x) = 3x^2 - 4x + 1 \). Montrez que cette fonction est continue en \( x = 2 \).

Résolution

Vérification de la définition de la continuité :
- Condition 1 : Vérifions si \( f(2) \) est défini.
  \[ f(2) = 3(2)^2 - 4(2) + 1 = 3 \times 4 - 8 + 1 = 12 - 8 + 1 = 5 \]
- Condition 2 : Calculons la limite de \( f(x) \) lorsque \( x \) tend vers \( 2 \).
  \[ \lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2} (3x^2 - 4x + 1) = 5 \]
- Condition 3 : Vérifions si cette limite est égale à \( f(2) \).
  \[ \lim_{x \to 2} f(x) = f(2) = 5 \]
Conclusion : Comme les trois conditions de la continuité sont satisfaites, la fonction \( f(x) = 3x^2 - 4x + 1 \) est continue en \( x = 2 \).

Théorème des valeurs intermédiaires

Le théorème des valeurs intermédiaires est un résultat fondamental en analyse qui s'applique aux fonctions continues. Il stipule que si une fonction est continue sur un intervalle fermé et borné, alors elle prend toutes les valeurs intermédiaires entre les valeurs qu'elle prend aux extrémités de cet intervalle.

Théorème des valeurs intermédiaires

Soit \( f \) une fonction continue sur un intervalle fermé \([a, b]\). Si \( f(a) \) et \( f(b) \) sont deux valeurs réelles, alors pour tout \( y \) compris entre \( f(a) \) et \( f(b) \) (c'est-à-dire \( y \in [f(a), f(b)] \)), il existe au moins un point \( c \in [a, b] \) tel que : \[ f(c) = y \]

Ce théorème s'applique uniquement aux fonctions continues. Une fonction qui n'est pas continue peut ne pas respecter cette propriété. Le théorème garantit l'existence d'au moins un point \( c \) pour chaque valeur intermédiaire \( y \). Il est possible qu'il y ait plusieurs points \( c \) pour une même valeur \( y \).

Exercice

Soit \( f \) la fonction définie par \( f(x) = x^2 - 4 \). Montrez qu'il existe un \( c \) dans l'intervalle \([-3, 2]\) tel que \( f(c) = 0 \).

Résolution

Détermination des valeurs aux extrémités :
- Calculons \( f(-3) \) : \[ f(-3) = (-3)^2 - 4 = 9 - 4 = 5 \]
- Calculons \( f(2) \) : \[ f(2) = (2)^2 - 4 = 4 - 4 = 0 \]
Nous avons donc : \[ f(-3) = 5 \quad \text{et} \quad f(2) = 0 \]
Application du théorème des valeurs intermédiaires :
Comme \( f \) est un polynôme, elle est continue sur l'intervalle \([-3, 2]\). Nous cherchons une valeur \( y \) telle que \( f(c) = 0 \) avec \( y = 0 \), qui est compris entre \( f(-3) = 5 \) et \( f(2) = 0 \). Selon le théorème des valeurs intermédiaires, il existe au moins un point \( c \in [-3, 2] \) tel que \( f(c) = 0 \).
Conclusion :
Ainsi, par le théorème des valeurs intermédiaires, nous concluons qu'il existe un \( c \) dans l'intervalle \([-3, 2]\) tel que \( f(c) = 0 \).

Capacités attendues

Comprendre la définition de la continuité d'une fonction.
Identifier et analyser la continuité des fonctions usuelles.
Établir le lien entre continuité et dérivabilité.
Appliquer le théorème des valeurs intermédiaires pour résoudre des problèmes.
Interpréter le rôle de la continuité dans les suites convergentes.
Utiliser des exemples concrets pour illustrer la continuité des fonctions.
Développer des compétences en raisonnement logique et en démonstration mathématique.

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