Fonction logarithme népérien
Fonction logarithme népérien
Définition de la fonction logarithme népérien
La fonction logarithme népérien, notée \( \ln(x) \), est définie pour tout \( x > 0 \). Elle est la fonction inverse de la fonction exponentielle \( e^x \). Plus formellement, si \( y = \ln(x) \), alors cela signifie que \( e^y = x \).
Propriétés algébriques
- Logarithme de 1 : \( \ln(1) = 0 \)
- Logarithme de \( e \) : \( \ln(e) = 1 \)
- Logarithme d'un produit : \( \ln(xy) = \ln(x) + \ln(y) \) pour \( x, y > 0 \)
- Logarithme d'un quotient : \( \ln\left(\frac{x}{y}\right) = \ln(x) - \ln(y) \) pour \( x, y > 0 \)
- Logarithme d'une puissance : \( \ln(x^n) = n \ln(x) \) pour \( x > 0 \) et \( n \in \mathbb{R} \)
Exercice
Calculez \( \ln(2) + \ln(3) \) et \( \ln(6) \) puis montrez que \( \ln(6) = \ln(2) + \ln(3) \).
Résolution
En utilisant la propriété du logarithme d'un produit :
\( \ln(2) + \ln(3) = \ln(2 \times 3) = \ln(6) \)
D'où, nous substituons :
\( \ln(2) + \ln(3) = \ln(6) \)
Ainsi, nous avons démontré que :
\( \ln(6) = \ln(2) + \ln(3) \)
Variations et limites de la fonction logarithme népérien
La fonction logarithme népérien \( \ln(x) \) est une fonction croissante définie pour \( x > 0 \). Analysons les variations de cette fonction ainsi que ses limites.
Variations de la fonction logarithme népérien
La fonction \( \ln(x) \) présente les caractéristiques suivantes :
- Elle est strictement croissante sur son domaine \( (0, +\infty) \).
- La dérivée de \( \ln(x) \) est donnée par \( \frac{d}{dx} \ln(x) = \frac{1}{x} \) pour \( x > 0 \), ce qui est toujours positif.
Limites de la fonction logarithme népérien
Les limites de la fonction logarithme népérien aux bornes de son domaine sont :
Limite | Expression | Résultat |
---|---|---|
Limite lorsque \( x \to 0^+ \) | \( \lim_{x \to 0^+} \ln(x) \) | \( -\infty \) |
Limite lorsque \( x \to +\infty \) | \( \lim_{x \to +\infty} \ln(x) \) | \( +\infty \) |
Lorsque \( x \) tend vers \( 0^+ \), \( \ln(x) \) tend vers \( -\infty \) :
\( \lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty \)
Lorsque \( x \) tend vers \( +\infty \), \( \ln(x) \) tend vers \( +\infty \) :
\( \lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty \)
Croissances comparées
Nous allons étudier les comportements asymptotiques de \( \frac{\ln(x)}{x^n} \) quand \( x \) tend vers \( 0 \) et \( x^n \cdot \ln(x) \) quand \( x \) tend vers \( +\infty \).
- Comportement de \( \frac{\ln(x)}{x^n} \) lorsque \( x \to 0^+ \) :
Pour \( x \) tendant vers \( 0 \), \( \ln(x) \) tend vers \( -\infty \) et \( x^n \) tend vers \( 0 \). Ainsi :
\( \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln(x)}{x^n} \to -\infty \)
- Comportement de \( x^n \cdot \ln(x) \) lorsque \( x \to +\infty \) :
Pour \( x \) tendant vers \( +\infty \), \( \ln(x) \) tend vers \( +\infty \) et \( x^n \) tend aussi vers \( +\infty \). Donc :
\( \lim_{x \to +\infty} x^n \cdot \ln(x) \to +\infty \)
Exercice
Étudiez les limites suivantes :
- \( \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln(x)}{x^n} \)
- \( \lim_{x \to +\infty} x^n \cdot \ln(x) \)
Résolution
1. Limite de \( \frac{\ln(x)}{x^n} \) lorsque \( x \to 0^+ \) :
Nous savons que \( \ln(x) \to -\infty \) et \( x^n \to 0 \) lorsque \( x \to 0^+ \). Ainsi, la fraction \( \frac{\ln(x)}{x^n} \) se comporte comme une forme indéterminée, mais nous pouvons conclure que :
\( \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln(x)}{x^n} = -\infty \)
2. Limite de \( x^n \cdot \ln(x) \) lorsque \( x \to +\infty \) :
En tenant compte de \( \ln(x) \to +\infty \) et \( x^n \to +\infty \), nous avons :
\( \lim_{x \to +\infty} x^n \cdot \ln(x) = +\infty \)
Capacités attendues
- Comprendre et définir la fonction logarithme népérien.
- Utiliser les propriétés algébriques de la fonction logarithme népérien dans des résolutions de problèmes.
- Analyser les variations de la fonction logarithme népérien sur un intervalle donné.
- Calculer les limites de la fonction logarithme népérien à différents points.
- Comparer les croissances de la fonction logarithme népérien avec d'autres fonctions, telles que les puissances.
- Appliquer les concepts étudiés à des situations concrètes et des problèmes mathématiques.
Librairies :
- Bootstrap: https://getbootstrap.com
- Font Awesome: https://fontawesome.com
- jQuery: https://jquery.com
- MathJax: https://www.mathjax.org