Fonction logarithme népérien

Définition de la fonction logarithme népérien

La fonction logarithme népérien, notée \( \ln(x) \), est définie pour tout \( x > 0 \). Elle est la fonction inverse de la fonction exponentielle \( e^x \). Plus formellement, si \( y = \ln(x) \), alors cela signifie que \( e^y = x \).

Propriétés algébriques

Logarithme de 1 : \( \ln(1) = 0 \)
Logarithme de \( e \) : \( \ln(e) = 1 \)
Logarithme d'un produit : \( \ln(xy) = \ln(x) + \ln(y) \) pour \( x, y > 0 \)
Logarithme d'un quotient : \( \ln\left(\frac{x}{y}\right) = \ln(x) - \ln(y) \) pour \( x, y > 0 \)
Logarithme d'une puissance : \( \ln(x^n) = n \ln(x) \) pour \( x > 0 \) et \( n \in \mathbb{R} \)

Exercice

Calculez \( \ln(2) + \ln(3) \) et \( \ln(6) \) puis montrez que \( \ln(6) = \ln(2) + \ln(3) \).

Résolution

En utilisant la propriété du logarithme d'un produit :

\( \ln(2) + \ln(3) = \ln(2 \times 3) = \ln(6) \)

D'où, nous substituons :

\( \ln(2) + \ln(3) = \ln(6) \)

Ainsi, nous avons démontré que :

\( \ln(6) = \ln(2) + \ln(3) \)

Variations et limites de la fonction logarithme népérien

La fonction logarithme népérien \( \ln(x) \) est une fonction croissante définie pour \( x > 0 \). Analysons les variations de cette fonction ainsi que ses limites.

Variations de la fonction logarithme népérien

La fonction \( \ln(x) \) présente les caractéristiques suivantes :

Elle est strictement croissante sur son domaine \( (0, +\infty) \).
La dérivée de \( \ln(x) \) est donnée par \( \frac{d}{dx} \ln(x) = \frac{1}{x} \) pour \( x > 0 \), ce qui est toujours positif.

Limites de la fonction logarithme népérien

Les limites de la fonction logarithme népérien aux bornes de son domaine sont :

Limite	Expression	Résultat
Limite lorsque \( x \to 0^+ \)	\( \lim_{x \to 0^+} \ln(x) \)	\( -\infty \)
Limite lorsque \( x \to +\infty \)	\( \lim_{x \to +\infty} \ln(x) \)	\( +\infty \)

Lorsque \( x \) tend vers \( 0^+ \), \( \ln(x) \) tend vers \( -\infty \) :

\( \lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty \)

Lorsque \( x \) tend vers \( +\infty \), \( \ln(x) \) tend vers \( +\infty \) :

\( \lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty \)

Croissances comparées

Nous allons étudier les comportements asymptotiques de \( \frac{\ln(x)}{x^n} \) quand \( x \) tend vers \( 0 \) et \( x^n \cdot \ln(x) \) quand \( x \) tend vers \( +\infty \).

Comportement de \( \frac{\ln(x)}{x^n} \) lorsque \( x \to 0^+ \) :
Pour \( x \) tendant vers \( 0 \), \( \ln(x) \) tend vers \( -\infty \) et \( x^n \) tend vers \( 0 \). Ainsi :

\( \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln(x)}{x^n} \to -\infty \)
Comportement de \( x^n \cdot \ln(x) \) lorsque \( x \to +\infty \) :
Pour \( x \) tendant vers \( +\infty \), \( \ln(x) \) tend vers \( +\infty \) et \( x^n \) tend aussi vers \( +\infty \). Donc :

\( \lim_{x \to +\infty} x^n \cdot \ln(x) \to +\infty \)

Exercice

Étudiez les limites suivantes :

\( \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln(x)}{x^n} \)
\( \lim_{x \to +\infty} x^n \cdot \ln(x) \)

Résolution

1. Limite de \( \frac{\ln(x)}{x^n} \) lorsque \( x \to 0^+ \) :

Nous savons que \( \ln(x) \to -\infty \) et \( x^n \to 0 \) lorsque \( x \to 0^+ \). Ainsi, la fraction \( \frac{\ln(x)}{x^n} \) se comporte comme une forme indéterminée, mais nous pouvons conclure que :

\( \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln(x)}{x^n} = -\infty \)

2. Limite de \( x^n \cdot \ln(x) \) lorsque \( x \to +\infty \) :

En tenant compte de \( \ln(x) \to +\infty \) et \( x^n \to +\infty \), nous avons :

\( \lim_{x \to +\infty} x^n \cdot \ln(x) = +\infty \)

Capacités attendues

Comprendre et définir la fonction logarithme népérien.
Utiliser les propriétés algébriques de la fonction logarithme népérien dans des résolutions de problèmes.
Analyser les variations de la fonction logarithme népérien sur un intervalle donné.
Calculer les limites de la fonction logarithme népérien à différents points.
Comparer les croissances de la fonction logarithme népérien avec d'autres fonctions, telles que les puissances.
Appliquer les concepts étudiés à des situations concrètes et des problèmes mathématiques.

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