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Fonction logarithme népérien

Fonction logarithme népérien

Définition de la fonction logarithme népérien

La fonction logarithme népérien, notée \( \ln(x) \), est définie pour tout \( x > 0 \). Elle est la fonction inverse de la fonction exponentielle \( e^x \). Plus formellement, si \( y = \ln(x) \), alors cela signifie que \( e^y = x \).

Propriétés algébriques

  • Logarithme de 1 : \( \ln(1) = 0 \)
  • Logarithme de \( e \) : \( \ln(e) = 1 \)
  • Logarithme d'un produit : \( \ln(xy) = \ln(x) + \ln(y) \) pour \( x, y > 0 \)
  • Logarithme d'un quotient : \( \ln\left(\frac{x}{y}\right) = \ln(x) - \ln(y) \) pour \( x, y > 0 \)
  • Logarithme d'une puissance : \( \ln(x^n) = n \ln(x) \) pour \( x > 0 \) et \( n \in \mathbb{R} \)

Exercice

Calculez \( \ln(2) + \ln(3) \) et \( \ln(6) \) puis montrez que \( \ln(6) = \ln(2) + \ln(3) \).

Résolution

En utilisant la propriété du logarithme d'un produit :

\( \ln(2) + \ln(3) = \ln(2 \times 3) = \ln(6) \)

D'où, nous substituons :

\( \ln(2) + \ln(3) = \ln(6) \)

Ainsi, nous avons démontré que :

\( \ln(6) = \ln(2) + \ln(3) \)

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Variations et limites de la fonction logarithme népérien

La fonction logarithme népérien \( \ln(x) \) est une fonction croissante définie pour \( x > 0 \). Analysons les variations de cette fonction ainsi que ses limites.

Variations de la fonction logarithme népérien

La fonction \( \ln(x) \) présente les caractéristiques suivantes :

  • Elle est strictement croissante sur son domaine \( (0, +\infty) \).
  • La dérivée de \( \ln(x) \) est donnée par \( \frac{d}{dx} \ln(x) = \frac{1}{x} \) pour \( x > 0 \), ce qui est toujours positif.

Limites de la fonction logarithme népérien

Les limites de la fonction logarithme népérien aux bornes de son domaine sont :

Limite Expression Résultat
Limite lorsque \( x \to 0^+ \) \( \lim_{x \to 0^+} \ln(x) \) \( -\infty \)
Limite lorsque \( x \to +\infty \) \( \lim_{x \to +\infty} \ln(x) \) \( +\infty \)

Lorsque \( x \) tend vers \( 0^+ \), \( \ln(x) \) tend vers \( -\infty \) :

\( \lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty \)

Lorsque \( x \) tend vers \( +\infty \), \( \ln(x) \) tend vers \( +\infty \) :

\( \lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty \)

Croissances comparées

Nous allons étudier les comportements asymptotiques de \( \frac{\ln(x)}{x^n} \) quand \( x \) tend vers \( 0 \) et \( x^n \cdot \ln(x) \) quand \( x \) tend vers \( +\infty \).

  • Comportement de \( \frac{\ln(x)}{x^n} \) lorsque \( x \to 0^+ \) :

    Pour \( x \) tendant vers \( 0 \), \( \ln(x) \) tend vers \( -\infty \) et \( x^n \) tend vers \( 0 \). Ainsi :

    \( \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln(x)}{x^n} \to -\infty \)

  • Comportement de \( x^n \cdot \ln(x) \) lorsque \( x \to +\infty \) :

    Pour \( x \) tendant vers \( +\infty \), \( \ln(x) \) tend vers \( +\infty \) et \( x^n \) tend aussi vers \( +\infty \). Donc :

    \( \lim_{x \to +\infty} x^n \cdot \ln(x) \to +\infty \)

Exercice

Étudiez les limites suivantes :

  1. \( \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln(x)}{x^n} \)
  2. \( \lim_{x \to +\infty} x^n \cdot \ln(x) \)

Résolution

1. Limite de \( \frac{\ln(x)}{x^n} \) lorsque \( x \to 0^+ \) :

Nous savons que \( \ln(x) \to -\infty \) et \( x^n \to 0 \) lorsque \( x \to 0^+ \). Ainsi, la fraction \( \frac{\ln(x)}{x^n} \) se comporte comme une forme indéterminée, mais nous pouvons conclure que :

\( \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln(x)}{x^n} = -\infty \)

2. Limite de \( x^n \cdot \ln(x) \) lorsque \( x \to +\infty \) :

En tenant compte de \( \ln(x) \to +\infty \) et \( x^n \to +\infty \), nous avons :

\( \lim_{x \to +\infty} x^n \cdot \ln(x) = +\infty \)

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Capacités attendues

  • Comprendre et définir la fonction logarithme népérien.
  • Utiliser les propriétés algébriques de la fonction logarithme népérien dans des résolutions de problèmes.
  • Analyser les variations de la fonction logarithme népérien sur un intervalle donné.
  • Calculer les limites de la fonction logarithme népérien à différents points.
  • Comparer les croissances de la fonction logarithme népérien avec d'autres fonctions, telles que les puissances.
  • Appliquer les concepts étudiés à des situations concrètes et des problèmes mathématiques.