Équations différentielles

Définition d'une équation différentielle

Une équation différentielle est une équation qui relie une fonction inconnue à ses dérivées. Cette équation peut contenir une ou plusieurs variables indépendantes et leurs dérivées. Les équations différentielles sont utilisées pour modéliser divers phénomènes dans des domaines tels que la physique, l'économie et la biologie.

Équation différentielle

Une équation impliquant une fonction et ses dérivées.

Fonction inconnue

La fonction que l'on cherche à déterminer à partir de l'équation.

Dérivée

Représente le taux de variation de la fonction par rapport à une variable.

Exercice résolu

Exercice

Considérons l'équation différentielle suivante :

\(y' = 5\)

où \(y'\) représente la dérivée de la fonction \(y\) par rapport à \(x\). Trouvez la fonction \(y\) qui satisfait cette équation.

Résolution

Compréhension de l'équation : L'équation donnée est \(y' = 5\). Cela signifie que la dérivée de la fonction \(y\) est constante et égale à 5.
Interprétation de la dérivée : La dérivée \(y'\) représente le taux de variation de la fonction \(y\) par rapport à la variable \(x\). Puisque \(y'\) est constant, cela indique que la fonction \(y\) augmente de manière linéaire à un rythme constant de 5 unités pour chaque unité d'augmentation de \(x\).
Forme générale de la solution : La fonction \(y\) qui satisfait cette équation différentielle peut être exprimée sous la forme : \[ y = 5x + C \] où \(C\) est une constante qui peut varier selon les conditions initiales ou les spécificités du problème.
Conclusion : Ainsi, la fonction \(y\) qui satisfait l'équation différentielle \(y' = 5\) est donnée par : \[ y = 5x + C \] Cette formulation décrit toutes les solutions possibles de l'équation en fonction de la constante \(C\).

Résolution d'une équation différentielle

Une équation différentielle est de la forme \( y' = f(x) \), \( y' = a \cdot y \), \( y' = a \cdot y + b \), ou \( y' = a \cdot y + f(x) \). Dans cette section, nous allons examiner comment résoudre ces types d'équations.

Résolution de l'équation \( y' = f(x) \)

Pour résoudre une équation de la forme \( y' = f(x) \), on cherche une fonction \( y \) telle que sa dérivée soit égale à \( f(x) \). La solution générale de cette équation est :

\( y = F(x) + C \)

où \( F(x) \) est une fonction primitive de \( f(x) \) et \( C \) est une constante d'intégration.

Résolution de l'équation \( y' = a \cdot y \)

Cette équation est une équation différentielle linéaire. La solution générale de cette équation est :

\( y = C \cdot e^{ax} \)

où \( C \) est une constante.

Résolution de l'équation \( y' = a \cdot y + b \)

Pour résoudre cette équation, la solution générale est donnée par :

\( y = C \cdot e^{ax} - \frac{b}{a} \)

où \( C \) est une constante.

Résolution de l'équation \( y' = a \cdot y + f(x) \)

Pour cette équation, la solution générale est :

\( y = C \cdot e^{ax} - \text{Solution particulière} \)

où \( C \) est une constante.

Exercice

Considérons l'équation différentielle suivante :

\( y' = 3y + 6 \)

Trouver la fonction \( y \) qui satisfait cette équation.

Résolution

1. **Identifions le type d'équation** : Il s'agit d'une équation de la forme \( y' = a \cdot y + b \), où \( a = 3 \) et \( b = 6 \).

2. **Utilisons la solution générale** :

\( y = C \cdot e^{3x} - \frac{6}{3} = C \cdot e^{3x} - 2 \)

3. **Conclusion** : La fonction qui satisfait l'équation différentielle \( y' = 3y + 6 \) est :

\( y = C \cdot e^{3x} - 2 \)

où \( C \) est une constante déterminée par les conditions initiales.

Capacités attendues

Comprendre la définition d'une équation différentielle.
Identifier les différentes formes d'équations différentielles.
Résoudre des équations différentielles de la forme y' = f(x).
Appliquer les méthodes de résolution aux équations de type y' = a*y.
Manipuler et résoudre des équations de la forme y' = a*y + b.
Résoudre des équations différentielles de la forme y' = a*y + f(x).
Interpréter les solutions obtenues dans le contexte de problèmes appliqués.

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