Calcul intégral

Définition d'une intégrale d'une fonction continue et positive

L’intégrale d’une fonction continue et positive sur un intervalle \([a, b]\) est une notion fondamentale en analyse mathématique. Elle permet de mesurer l'aire sous la courbe de cette fonction entre les points \(a\) et \(b\).

Définition de l'intégrale

Soit \(f : [a, b] \to \mathbb{R}\) une fonction continue et positive. L'intégrale de \(f\) sur l'intervalle \([a, b]\) est notée \(\int_a^b f(x) \, dx\). Cette notation représente l'aire sous la courbe de \(f\) entre \(a\) et \(b\).

L'intégrale est définie à l'aide de la notion de primitive. Une fonction \(F\) est appelée primitive de \(f\) sur \([a, b]\) si, pour tout \(x\) dans \([a, b]\), \(F'(x) = f(x)\). L'intégrale de \(f\) sur \([a, b]\) est alors donnée par :

\[ \int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a) \]

Exemple :

Considérons la fonction \(f(x) = 2x\) définie sur l'intervalle \([1, 3]\).

Pour calculer l'intégrale \(\int_1^3 2x \, dx\), nous devons d'abord déterminer une primitive de \(f\). Nous trouvons que \(F(x) = x^2\) est une primitive de \(f\).

Ainsi, nous avons : \[ \int_1^3 2x \, dx = F(3) - F(1) = 3^2 - 1^2 = 9 - 1 = 8. \]

Tableau synthétique des définitions clés :

Fonction continue : Une fonction est continue sur un intervalle si elle n'a pas de discontinuités sur cet intervalle.
Fonction positive : Une fonction est positive sur un intervalle si pour tout \(x\) dans cet intervalle, \(f(x) \geq 0\).
Primitive : Une fonction \(F\) est une primitive de \(f\) sur \([a, b]\) si \(F'(x) = f(x)\) pour tout \(x \in [a, b]\).
Intégrale : L'intégrale de \(f\) sur \([a, b]\) est notée \(\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)\), où \(F\) est une primitive de \(f\).

Exercice

Soit la fonction \(f(x) = 2x\) définie sur l'intervalle \([1, 3]\). Calculez l'intégrale \(\int_1^3 2x \, dx\).

Résolution

1. Pour la fonction \(f(x) = 2x\), nous savons que :

\(F(x) = x^2\) est une primitive de \(f\).

2. Calculons l'intégrale :

\[ \int_1^3 2x \, dx = F(3) - F(1) \]

Calculons \(F(3)\) et \(F(1)\) :

- \(F(3) = 3^2 = 9\)

- \(F(1) = 1^2 = 1\)

En substituant ces valeurs, nous avons :

\[ \int_1^3 2x \, dx = 9 - 1 = 8. \]

Conclusion : L'intégrale \(\int_1^3 2x \, dx\) est égale à \(8\).

Propriété algébrique de l'intégrale

La propriété algébrique de l'intégrale est essentielle pour manipuler les intégrales de manière efficace. Voici les principales propriétés à retenir :

Linéarité de l'intégrale

Si \( f \) et \( g \) sont deux fonctions continues sur l'intervalle \([a, b]\) et \( \alpha \) et \( \beta \) sont des réels, alors :

\[ \int_a^b (\alpha f(x) + \beta g(x)) \, dx = \alpha \int_a^b f(x) \, dx + \beta \int_a^b g(x) \, dx \]

Monotonie de l'intégrale

Si \( f \) et \( g \) sont deux fonctions continues sur \([a, b]\) et si \( f(x) \leq g(x) \) pour tout \( x \in [a, b] \), alors :

\[ \int_a^b f(x) \, dx \leq \int_a^b g(x) \, dx \]

Relation de Chasles

Si \( f \) est une fonction continue sur \([a, c]\), alors :

\[ \int_a^c f(x) \, dx = \int_a^b f(x) \, dx + \int_b^c f(x) \, dx \quad \text{pour tout } b \in [a, c] \]

Inversement des bornes

Si \( f \) est une fonction continue sur \([a, b]\), alors :

\[ \int_a^b f(x) \, dx = -\int_b^a f(x) \, dx \]

Fonctions paires et impaires

Si \( f \) est une fonction paire (c'est-à-dire \( f(-x) = f(x) \)), alors : \[ \int_{-a}^a f(x) \, dx = 2 \int_0^a f(x) \, dx \]
Si \( f \) est une fonction impaire (c'est-à-dire \( f(-x) = -f(x) \)), alors : \[ \int_{-a}^a f(x) \, dx = 0 \]

Ces propriétés permettent d'effectuer des calculs d'intégrales plus facilement et d'établir des inégalités entre intégrales.

Exercice

Soit \( f(x) = 3 \) et \( g(x) = 2x \) définies sur l'intervalle \([0, 2]\). Calculez l'intégrale suivante :

\[ \int_0^2 (2f(x) + 3g(x)) \, dx \]

Résolution

Pour résoudre cet exercice, nous allons utiliser la propriété de linéarité de l'intégrale.

Tout d'abord, calculons chaque intégrale séparément :

Calculons \( \int_0^2 f(x) \, dx \) : \[ \int_0^2 f(x) \, dx = \int_0^2 3 \, dx = 3 \times (2 - 0) = 3 \times 2 = 6 \]
Calculons \( \int_0^2 g(x) \, dx \) : \[ \int_0^2 g(x) \, dx = \int_0^2 2x \, dx \] Pour cela, on trouve la primitive de \( 2x \) : \[ \int 2x \, dx = x^2 + C \] Donc, \[ \int_0^2 2x \, dx = \left[ x^2 \right]_0^2 = 2^2 - 0^2 = 4 - 0 = 4 \]

Maintenant, utilisons la linéarité pour calculer l'intégrale demandée :

\[ \int_0^2 (2f(x) + 3g(x)) \, dx = 2 \int_0^2 f(x) \, dx + 3 \int_0^2 g(x) \, dx \end{p}

En remplaçant les valeurs que nous avons trouvées :

\[ = 2 \times 6 + 3 \times 4 = 12 + 12 = 24 \]

Donc, la valeur de l'intégrale est :

\[ \int_0^2 (2f(x) + 3g(x)) \, dx = 24 \]

Intégration par parties

L'intégration par parties est une technique qui permet de calculer certaines intégrales en transformant une intégrale difficile à évaluer en une intégrale plus simple. Cette méthode repose sur la formule suivante :

\[ \int_a^b u \, v' \, dx = \left[ u v \right]_a^b - \int_a^b v \, u' \, dx \]

où \(u\) et \(v'\) sont des parties de l'intégrande que l'on choisit judicieusement. Cette technique est particulièrement utile lorsque l'intégrande est le produit de deux fonctions.

Choix des fonctions

Pour appliquer cette méthode, il est crucial de bien choisir les fonctions \(u\) et \(v'\). En général, on choisit \(u\) comme étant une fonction dont la dérivée est simple à calculer, et \(v'\) comme une fonction dont l'intégration est possible.

Application de la méthode

Identifier : Choisir \(u\) et \(v'\).
Différencier : Calculer \(u'\) à partir de \(u\).
Intégrer : Calculer \(v\) à partir de \(v'\).
Appliquer la formule : Utiliser la relation \[ \int_a^b u \, v' \, dx = \left[ u v \right]_a^b - \int_a^b v \, u' \, dx. \]
Simplifier : Résoudre l'intégrale obtenue si possible.

Exemple :

Considérons l'intégrale suivante :

\[ \int_1^2 x e^x \, dx \]

Nous choisissons :

\(u = x\) \(\Rightarrow u' = 1 \, dx\)
\(v' = e^x \, dx\) \(\Rightarrow v = e^x\)

En appliquant la formule :

\[ \int_1^2 x e^x \, dx = \left[ x e^x \right]_1^2 - \int_1^2 e^x \, dx \]

Calculons maintenant l'intégrale de \(e^x\) :

\[ \int_1^2 e^x \, dx = \left[ e^x \right]_1^2 = e^2 - e \]

En substituant cela dans l'expression :

\[ \int_1^2 x e^x \, dx = \left[ x e^x \right]_1^2 - (e^2 - e) \]

Calculons la limite :

\[ \left[ x e^x \right]_1^2 = 2 e^2 - 1 e = 2e^2 - e \]

Finalement, nous obtenons :

\[ \int_1^2 x e^x \, dx = (2 e^2 - e) - (e^2 - e) = e^2 \]

Exercice

Calculez l'intégrale suivante :

\[ \int_1^3 x \ln(x) \, dx \]

Résolution

1. Choisir \(u\) et \(v'\) :

\(u = \ln(x)\) \(\Rightarrow u' = \frac{1}{x} \, dx\)
\(v' = x \, dx\) \(\Rightarrow v = \frac{x^2}{2}\)

2. Appliquer la formule d'intégration par parties :

\[ \int_1^3 x \ln(x) \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \ln(x) \right]_1^3 - \int_1^3 \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} \, dx \]

3. Simplifier l'intégrale :

\[ \int_1^3 x \ln(x) \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \ln(x) \right]_1^3 - \frac{1}{2} \int_1^3 x \, dx \]

4. Calculer l'intégrale de \(x\) :

\[ \int_1^3 x \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_1^3 = \frac{3^2}{2} - \frac{1^2}{2} = \frac{9}{2} - \frac{1}{2} = \frac{8}{2} = 4 \]

5. Remplacer dans l'expression :

\[ \int_1^3 x \ln(x) \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \ln(x) \right]_1^3 - \frac{1}{2} \cdot 4 \]

Calculons maintenant la limite :

\[ \left[ \frac{x^2}{2} \ln(x) \right]_1^3 = \frac{3^2}{2} \ln(3) - \frac{1^2}{2} \ln(1) = \frac{9}{2} \ln(3) - 0 = \frac{9}{2} \ln(3) \]

Finalement, nous avons :

\[ \int_1^3 x \ln(x) \, dx = \frac{9}{2} \ln(3) - 2 \]

Réponse finale :

\[ \int_1^3 x \ln(x) \, dx = \frac{9}{2} \ln(3) - 2 \]

Application de l'intégrale : calcul d'aire, valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle

L'intégrale est un outil puissant en mathématiques, notamment pour calculer l'aire sous la courbe d'une fonction continue et positive sur un intervalle donné. Si l'on considère une fonction \( f \) continue et positive sur l'intervalle \( [a, b] \), l'aire \( A \) sous la courbe de \( f \) entre les bornes \( a \) et \( b \) est donnée par l'intégrale définie :

\[ A = \int_{a}^{b} f(x) \, dx \]

Cette expression représente l'aire entre la courbe \( y = f(x) \), l'axe des abscisses, et les droites verticales \( x = a \) et \( x = b \).

En outre, l'intégrale permet de déterminer la valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle. La valeur moyenne \( M \) de la fonction \( f \) sur l'intervalle \( [a, b] \) est calculée par la formule suivante :

\[ M = \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) \, dx \]

Cela signifie que la valeur moyenne est l'aire sous la courbe divisée par la longueur de l'intervalle.

Exercice

Soit la fonction \( f(x) = x^2 \). Calculez l'aire sous la courbe de \( f \) entre \( x = 1 \) et \( x = 3 \) et déterminez la valeur moyenne de la fonction sur cet intervalle.

Résolution

1. Calcul de l'aire :
Nous devons évaluer l'intégrale : \[ A = \int_{1}^{3} x^2 \, dx \] Pour cela, nous trouvons la primitive de \( f(x) = x^2 \), qui est : \[ F(x) = \frac{x^3}{3} + C \] Nous allons maintenant évaluer l'intégrale définie : \[ A = F(3) - F(1) \] Calculons \( F(3) \) et \( F(1) \) : \[ F(3) = \frac{3^3}{3} = \frac{27}{3} = 9 \] \[ F(1) = \frac{1^3}{3} = \frac{1}{3} \] Donc, \[ A = 9 - \frac{1}{3} = \frac{27}{3} - \frac{1}{3} = \frac{26}{3} \] L'aire sous la courbe de \( f \) entre \( x = 1 \) et \( x = 3 \) est donc \( \frac{26}{3} \).

2. Calcul de la valeur moyenne :
Utilisons la formule de la valeur moyenne : \[ M = \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) \, dx = \frac{1}{3-1} \int_{1}^{3} x^2 \, dx \] Comme nous avons déjà calculé \( A \) : \[ M = \frac{1}{2} \times \frac{26}{3} = \frac{26}{6} = \frac{13}{3} \] La valeur moyenne de la fonction \( f(x) = x^2 \) sur l'intervalle \( [1, 3] \) est donc \( \frac{13}{3} \).

Capacités attendues

Comprendre et définir l'intégrale d'une fonction continue et positive.
Utiliser la notation intégrale de manière appropriée.
Calculer des intégrales en utilisant des primitives.
Appliquer les propriétés algébriques de l'intégrale.
Utiliser l'intégrale pour établir et interpréter des inégalités.
Maîtriser la méthode d'intégration par parties.
Calculer des aires sous des courbes à l'aide de l'intégrale.
Déterminer la valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle donné.

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