Triangle rectangle

Théorème de Pythagore et réciproque

Le théorème de Pythagore est un résultat fondamental de la géométrie des triangles rectangles. Il établit une relation entre les longueurs des côtés d’un triangle rectangle.

Théorème de Pythagore

Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.

Soit un triangle rectangle \( ABC \) avec l'angle droit en \( C \), l'hypoténuse \( [AB] \), et les autres côtés \( [AC] \) et \( [BC] \). Le théorème de Pythagore s'énonce sous la forme :

\( AB^2 = AC^2 + BC^2 \)

\( AB \) est l'hypoténuse,
\( AC \) et \( BC \) sont les côtés adjacents à l'angle droit.

Réciproque du théorème de Pythagore

La réciproque du théorème de Pythagore permet de déterminer si un triangle est rectangle en vérifiant la relation entre les longueurs de ses côtés.

Si, dans un triangle, le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors ce triangle est un triangle rectangle.

Autrement dit, si dans un triangle \( ABC \), les longueurs des côtés \( a \), \( b \) et \( c \) (avec \( c \) étant le plus grand côté) vérifient la relation :

\( c^2 = a^2 + b^2 \)

alors ce triangle est un triangle rectangle, et l'angle formé par les côtés \( a \) et \( b \) est un angle droit.

La réciproque peut être résumée dans le tableau suivant :

Tableau récapitulatif

Théorème : Dans un triangle rectangle, \( AB^2 = AC^2 + BC^2 \).
Réciproque : Si \( c^2 = a^2 + b^2 \), alors le triangle est rectangle.

Exercice

Dans un triangle \( ABC \) rectangle en \( C \), on connaît les longueurs des deux côtés \( AC = 3 \) cm et \( BC = 4 \) cm. Calculez la longueur de l'hypoténuse \( AB \) en utilisant le théorème de Pythagore.

Résolution

On utilise le théorème de Pythagore qui nous dit que dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.

Ici, \( AC = 3 \) cm et \( BC = 4 \) cm. Il nous faut calculer la longueur de l'hypoténuse \( AB \). D'après le théorème de Pythagore :

\( AB^2 = AC^2 + BC^2 \)

Substituons les valeurs des côtés :

\( AB^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 \)

Ensuite, on prend la racine carrée des deux côtés de l'égalité :

\( AB = \sqrt{25} = 5 \, \text{cm} \)

La longueur de l'hypoténuse \( AB \) est donc de 5 cm.

Rapports trigonométriques : cosinus, sinus, tangente

Dans un triangle rectangle, les rapports trigonométriques permettent de relier les longueurs des côtés du triangle à ses angles. Ces rapports sont essentiels pour résoudre des problèmes impliquant des triangles rectangles, surtout lorsque certains côtés ou angles ne sont pas immédiatement accessibles.

Cosinus, sinus et tangente

Soit un triangle rectangle \( ABC \) avec l'angle \( \theta \) situé en \( A \) (c'est-à-dire que l'angle droit est en \( C \)). Les rapports trigonométriques de cet angle \( \theta \) sont définis comme suit :

Le sinus de \( \theta \) est le rapport entre la longueur du côté opposé à \( \theta \) et l'hypoténuse : \[ \sin(\theta) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}} \]
Le cosinus de \( \theta \) est le rapport entre la longueur du côté adjacent à \( \theta \) et l'hypoténuse : \[ \cos(\theta) = \frac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}} \]
La tangente de \( \theta \) est le rapport entre la longueur du côté opposé et la longueur du côté adjacent : \[ \tan(\theta) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}} \]

Ces rapports sont utilisés pour calculer des longueurs ou des angles dans un triangle rectangle, dès lors que certaines informations sont données.

Exercice

Dans un triangle rectangle \( ABC \), l'angle \( \theta \) en \( A \) mesure \( 30^\circ \). L'hypoténuse mesure 10 cm. Calculez la longueur du côté adjacent et la longueur du côté opposé à l'angle \( \theta \).

Résolution

Nous avons les informations suivantes :

L'angle \( \theta = 30^\circ \)
L'hypoténuse \( h = 10 \, \text{cm} \)

Nous devons déterminer les longueurs du côté adjacent et du côté opposé à \( \theta \).

1. Calcul de la longueur du côté opposé à \( \theta \) :

Nous utilisons la définition du sinus :

\[ \sin(30^\circ) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}} \] \p>Nous savons que \( \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \). Donc : \[ \frac{1}{2} = \frac{\text{côté opposé}}{10} \] \p>Multipliant les deux membres par 10, nous obtenons : \[ \text{côté opposé} = 10 \times \frac{1}{2} = 5 \, \text{cm}

2. Calcul de la longueur du côté adjacent à \( \theta \) :

Nous utilisons la définition du cosinus :

\[ \cos(30^\circ) = \frac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}} \] \p>Nous savons que \( \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \). Donc : \[ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\text{côté adjacent}}{10} \] \p>Multipliant les deux membres par 10, nous obtenons : \[ \text{côté adjacent} = 10 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \, \text{cm} \approx 8,66 \, \text{cm}

Conclusion :

Dans ce triangle rectangle, la longueur du côté opposé à l'angle \( 30^\circ \) est de 5 cm, et la longueur du côté adjacent à cet angle est d'environ 8,66 cm.

Calculer une longueur et/ou un angle à l'aide des rapports trigonométriques

Dans un triangle rectangle, on peut utiliser les fonctions trigonométriques (sinus, cosinus, et tangente) pour calculer les longueurs des côtés ou les angles, en fonction des données disponibles. Ces calculs sont basés sur des rapports précis entre les côtés du triangle et les angles.

Sinus

Le sinus d'un angle \( \theta \) dans un triangle rectangle est le rapport entre la longueur du côté opposé à cet angle et la longueur de l'hypoténuse. Il est noté : \[ \sin(\theta) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}}. \]

Cosinus

Le cosinus d'un angle \( \theta \) dans un triangle rectangle est le rapport entre la longueur du côté adjacent à cet angle et la longueur de l'hypoténuse. Il est noté : \[ \cos(\theta) = \frac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}. \]

Tangente

La tangente d'un angle \( \theta \) dans un triangle rectangle est le rapport entre la longueur du côté opposé à cet angle et la longueur du côté adjacent. Elle est notée : \[ \tan(\theta) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}}. \]

Exemple :

Dans un triangle rectangle, l'angle \( \theta \) mesure \( 30^\circ \) et l'hypoténuse mesure 10 cm. Si l'on souhaite calculer la longueur du côté opposé et du côté adjacent, on peut utiliser les rapports trigonométriques suivants :

Pour le côté opposé : \[ \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad \text{côté opposé} = \frac{1}{2} \times 10 = 5 \, \text{cm}. \]
Pour le côté adjacent : \[ \cos 30^\circ \approx 0,866 \quad \Rightarrow \quad \text{côté adjacent} = 0,866 \times 10 \approx 8,66 \, \text{cm}. \]

Exercice

Dans un triangle rectangle, l'angle \( \theta \) mesure \( 45^\circ \) et l'hypoténuse mesure 12 cm. Calculez la longueur du côté opposé et du côté adjacent.

Résolution

Pour résoudre cet exercice, on utilise les formules trigonométriques :

Pour le côté opposé : \[ \sin 45^\circ \approx 0,707 \quad \Rightarrow \quad \text{côté opposé} = 0,707 \times 12 \approx 8,49 \, \text{cm}. \]
Pour le côté adjacent : \[ \cos 45^\circ \approx 0,707 \quad \Rightarrow \quad \text{côté adjacent} = 0,707 \times 12 \approx 8,49 \, \text{cm}. \]

Les longueurs des côtés opposé et adjacent sont toutes deux égales à environ 8,49 cm.

Capacités attendues

Connaître et appliquer le théorème de Pythagore pour résoudre des problèmes géométriques.
Comprendre et utiliser la réciproque du théorème de Pythagore pour vérifier si un triangle est rectangle.
Maîtriser les rapports trigonométriques (cosinus, sinus, tangente) dans un triangle rectangle.
Calculer une longueur inconnue dans un triangle rectangle à l'aide des rapports trigonométriques.
Calculer un angle d'un triangle rectangle en utilisant les fonctions trigonométriques.
Appliquer les rapports trigonométriques pour résoudre des problèmes pratiques liés aux triangles rectangles.

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