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Transformations géométriques

Transformer une figure par symétrie : symétrie axiale et symétrie centrale

Les transformations géométriques permettent de déplacer ou de modifier des figures de manière systématique. Parmi les transformations géométriques les plus simples figurent les symétries. La symétrie consiste à transformer une figure de manière à obtenir une image "miroir" de la figure d'origine par rapport à un axe ou un point.

Symétrie axiale

La symétrie axiale est une transformation géométrique qui consiste à réfléchir une figure par rapport à un axe donné. Cela signifie que chaque point de la figure est transformé en son image par rapport à cet axe de manière à ce que l'axe soit le médiateur des segments reliant chaque point à son image.

Définition de la symétrie axiale

La symétrie axiale par rapport à un axe \( \mathcal{A} \) transforme un point \( A \) en un point \( A' \), tel que \( \mathcal{A} \) soit la médiatrice du segment \( [A, A'] \).

Propriétés de la symétrie axiale

  • Perpendiculaire à l'axe : Chaque point de la figure se déplace perpendiculairement à l'axe.
  • Distances conservées : Les distances des points à l'axe sont conservées : la distance de chaque point à l'axe est la même avant et après la transformation.

Symétrie centrale

La symétrie centrale est une transformation géométrique qui consiste à faire pivoter une figure autour d'un point donné, appelé le centre de la symétrie. Cela signifie que chaque point de la figure est transformé en un point situé de part et d'autre du centre, à égale distance de ce centre.

Définition de la symétrie centrale

La symétrie centrale par rapport à un point \( O \) transforme un point \( A \) en un point \( A' \), tel que \( O \) soit le milieu du segment \( [A, A'] \).

Propriétés de la symétrie centrale

  • Inversion de la direction : La direction des segments est inversée, mais leur longueur reste inchangée.
  • Distances conservées : Les distances entre le centre \( O \) et chaque point sont conservées.

Exercice

On considère un triangle \( ABC \) dont les coordonnées des sommets sont les suivantes :

  • \( A(1, 2) \)
  • \( B(3, 4) \)
  • \( C(5, 6) \)

Appliquer successivement une symétrie axiale par rapport à l'axe \( y = 3 \), puis une symétrie centrale par rapport au point \( O(2, 3) \), et donner les coordonnées des images des points \( A \), \( B \) et \( C \) après chaque transformation.

Résolution

1. Appliquons la symétrie axiale par rapport à l'axe \( y = 3 \) :

  • La distance du point \( A(1, 2) \) à l'axe \( y = 3 \) est 1, donc l'image de \( A \) sera à \( A'(1, 4) \).
  • La distance du point \( B(3, 4) \) à l'axe \( y = 3 \) est 1, donc l'image de \( B \) sera à \( B(3, 2) \).
  • La distance du point \( C(5, 6) \) à l'axe \( y = 3 \) est 3, donc l'image de \( C \) sera à \( C(5, 0) \).

2. Appliquons maintenant la symétrie centrale par rapport au point \( O(2, 3) \) :

  • Pour le point \( A'(1, 4) \), l'image est calculée comme suit : \( A''(3, 2) \) (inversion de la direction).
  • Pour le point \( B(3, 2) \), l'image est \( B''(1, 4) \).
  • Pour le point \( C(5, 0) \), l'image est \( C''(0, 6) \).
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Transformer une figure par translation

La translation est une transformation géométrique qui déplace chaque point d’une figure selon un même vecteur, sans modifier la forme ni la taille de cette figure. Cela signifie que tous les points de la figure sont déplacés de la même manière, et la figure reste identique à elle-même après la transformation.

Définition de la translation

Une translation est définie par un vecteur \(\vec{v}\), qui indique la direction et la distance du déplacement. Ce vecteur détermine comment chaque point de la figure est déplacé. Le principe de la translation consiste à déplacer chaque point de la figure en suivant le même déplacement défini par \(\vec{v}\). Cela signifie que tous les points de la figure sont déplacés parallèlement, dans la même direction et avec la même longueur, sans que la forme ou la taille de la figure ne soit modifiée.

Graphiquement, une translation est représentée par un vecteur \(\vec{v}\). En appliquant ce vecteur à chaque point de la figure, on déplace chaque point parallèlement au vecteur, mais sans changer la forme de la figure. Après la translation, la figure est exactement identique à elle-même, à l’exception de sa position dans l’espace.

Exercice

Soit un point \(A\) situé à une certaine distance d'un axe et d'un repère. Appliquez une translation qui déplace chaque point de \(A\) selon un vecteur donné qui change sa position de manière spécifique (par exemple, un déplacement de \(4\) unités dans une direction et un déplacement de \(2\) unités dans une autre).

Résolution

1. On considère un point \(A\) initial, dont la position est à une certaine distance d’un axe et d’un repère, mais sans avoir besoin de coordonnées précises.

2. Le vecteur de translation est donné. Imaginons que ce vecteur déplace chaque point de \(4\) unités dans une direction (par exemple, à droite) et de \(2\) unités dans une autre direction (par exemple, vers le bas).

3. Après application de la translation à ce point \(A\), le point \(A'\) aura déplacé d'une manière identique à celle définie par le vecteur de translation. Le déplacement est parallèle au vecteur \(\vec{v}\), de manière uniforme pour tous les points de la figure.

Ainsi, le point \(A\) est déplacé de manière régulière et proportionnelle à ce vecteur, et sa nouvelle position devient \(A'\), qui se trouve à la position correspondante après application du déplacement défini.

La translation est une transformation géométrique qui permet de déplacer une figure sans en changer la forme ou la taille. Elle est définie par un vecteur qui détermine la direction et l'amplitude du déplacement. Dans l'exemple résolu, le point \(A\) a été déplacé selon un vecteur, et la figure reste inchangée, sauf pour sa position.

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Transformer une figure par rotation

La rotation est une transformation géométrique qui fait tourner une figure autour d’un point fixe appelé centre de rotation. Lors d'une rotation, l'ensemble de la figure tourne selon un certain angle de rotation autour de ce centre. L'angle de rotation est mesuré en degrés et peut être dans le sens des aiguilles d'une montre ou dans le sens inverse.

Lors de cette transformation :

  • Les distances entre les points de la figure sont préservées, c'est-à-dire qu'elles ne changent pas.
  • Les angles entre les segments restent également inchangés après la rotation.
  • Le centre de rotation est un point fixe, il ne se déplace pas.

Exemple :

Imaginons un carré tourné autour de son centre avec un angle de 90° dans le sens des aiguilles d’une montre. Le carré obtenu après la rotation est identique à l'original, mais il est tourné de 90° par rapport à son centre. Tous les points du carré ont changé de position, mais leurs distances entre eux et leurs angles restent identiques.

Propriétés de la rotation

Invariance des distances Les distances entre les points d'une figure ne changent pas après la rotation.
Invariance des angles Les angles entre les segments restent les mêmes après la rotation.
Le centre de rotation est fixe Le centre de rotation ne se déplace pas pendant la transformation.

Exercice

On considère un triangle dont les sommets sont \( A \), \( B \) et \( C \). Ce triangle est tourné de 90° dans le sens des aiguilles d'une montre autour du point \( O \), le centre de rotation. On demande de déterminer les nouvelles positions des points \( A' \), \( B' \) et \( C' \), après la rotation.

Résolution

1. Identification du centre de rotation : Le point \( O \) est le centre de rotation autour duquel la figure va tourner.

2. Rotation de 90° dans le sens des aiguilles d'une montre : Pour chaque point, on doit imaginer qu'il effectue une rotation de 90° dans le sens des aiguilles d'une montre autour de \( O \).

- Le point \( A \) se déplace selon un quart de cercle autour de \( O \), et la nouvelle position du point \( A' \) sera à 90° dans le sens des aiguilles d’une montre par rapport à \( A \).

- Même principe pour les points \( B \) et \( C \), qui se déplacent également sur un quart de cercle pour atteindre leurs nouvelles positions \( B' \) et \( C' \).

Après la rotation de 90°, le triangle formé par les points \( A' \), \( B' \) et \( C' \) est l'image du triangle initial.

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Transformer une figure par homothétie

Définition : Homothétie

L'homothétie est une transformation géométrique qui modifie la taille d'une figure tout en conservant ses proportions et ses formes. Elle est caractérisée par un centre d'homothétie et un rapport d'homothétie.

Propriétés de l'homothétie

  • Les droites passant par le centre d'homothétie sont invariantes.
  • Les distances entre les points de la figure sont multipliées par le rapport d'homothétie.
  • L'angle entre deux droites de la figure reste inchangé.
  • Les rapports de longueurs entre les segments de la figure sont égaux au rapport d'homothétie.

Exercice

On considère un triangle ABC. Si on effectue une homothétie de rapport 2 et de centre O, quelle est l'image du triangle ABC ?

Résolution

Pour résoudre cet exercice, on effectue les étapes suivantes :

  • Le centre d'homothétie O reste inchangé. Les points du triangle seront éloignés de O par un facteur de 2.
  • Les distances entre les points du triangle initial et O sont multipliées par 2. Par exemple, si la distance de A à O est d, alors la distance de l'image de A à O sera 2d.
  • Les angles du triangle restent les mêmes, mais les longueurs des côtés sont doublées.
  • Enfin, l'image du triangle est une figure semblable au triangle initial, avec des dimensions multipliées par 2.

L'image du triangle ABC sous l'homothétie de rapport 2 et de centre O est donc un triangle dont les dimensions sont deux fois plus grandes que celles du triangle initial.

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Capacités attendues

  • Comprendre et appliquer les transformations géométriques : symétrie axiale, symétrie centrale, translation, rotation et homothétie.
  • Reconnaître et décrire les effets de chaque transformation sur une figure géométrique.
  • Utiliser les transformations géométriques pour résoudre des problèmes de déformation de figures.
  • Analyser les propriétés invariantes d'une figure lors des transformations.
  • Effectuer des constructions géométriques en utilisant les transformations appropriées.
  • Identifier les transformations utilisées dans des situations géométriques concrètes.