Théorème de Thalès

Cauler des longueurs grâce au théorème de Thalès

Le théorème de Thalès permet de calculer des longueurs dans des figures géométriques, particulièrement dans des triangles. Voici comment il fonctionne :

Théorème de Thalès

Énoncé : Si dans un triangle, une droite parallèle à l’un des côtés du triangle coupe les deux autres côtés, alors elle divise ces deux côtés en segments proportionnels.

Formulation mathématique : Soit un triangle \( ABC \) où \( D \) et \( E \) sont deux points distincts sur les côtés \( [AB] \) et \( [AC] \), respectivement, et que \( DE \) est parallèle au côté \( [BC] \). Alors, on a la relation suivante :

\[ \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} \]

Cela signifie que les longueurs des segments sont proportionnelles. Autrement dit, le rapport des longueurs des segments sur le côté \( AB \) est égal au rapport des longueurs des segments sur le côté \( AC \).

Le théorème de Thalès permet donc de déterminer une longueur manquante dans un triangle dès lors que les autres longueurs sont connues et que les conditions du théorème sont remplies (c’est-à-dire que les droites sont parallèles). Pour cela, il suffit de faire une règle de trois en utilisant les rapports de longueurs.

Exercice

Dans le triangle \( ABC \), les points \( D \) et \( E \) sont sur les côtés \( [AB] \) et \( [AC] \), respectivement, et \( DE \) est parallèle au côté \( BC \). On connaît les longueurs suivantes :

\( AD = 4 \, \text{cm} \)
\( DB = 6 \, \text{cm} \)
\( AE = 5 \, \text{cm} \)
\( EC = x \, \text{cm} \) (à déterminer)

Utiliser le théorème de Thalès pour calculer \( x \).

Résolution

Le théorème de Thalès nous donne la relation suivante entre les longueurs des segments :

\[ \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} \]

Nous remplaçons les longueurs connues :

\[ \frac{4}{6} = \frac{5}{x} \]

Pour simplifier le rapport \( \frac{4}{6} \), nous divisons le numérateur et le dénominateur par 2 :

\[ \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \]

Nous obtenons donc :

\[ \frac{2}{3} = \frac{5}{x} \]

Ensuite, on applique la règle de trois pour isoler \( x \). On multiplie en croix :

\[ 2x = 3 \times 5 \]

Ce qui donne :

\[ 2x = 15 \]

Finalement, on divise par 2 :

\[ x = \frac{15}{2} = 7,5 \, \text{cm} \]

Ainsi, la longueur \( EC \) est \( 7,5 \, \text{cm} \).

Reconnaitre des droites parallèles grâce à la réciproque du théorème de Thalès

La réciproque du théorème de Thalès permet de démontrer que si une configuration géométrique vérifie certaines conditions, alors les droites concernées sont parallèles. Cette réciproque est utilisée lorsque nous connaissons des rapports de longueurs dans un triangle, et que ces rapports permettent de conclure au parallélisme de certaines droites.

Réciproque du théorème de Thalès

Si, dans un triangle, deux droites sont coupées par une même sécante, et que les rapports des longueurs des segments qu'elles déterminent sont égaux, alors ces deux droites sont parallèles.

Autrement dit, supposons un triangle \( ABC \), et deux droites \( d_1 \) et \( d_2 \) qui coupent les côtés \( [AB] \) et \( [AC] \) respectivement en \( M \) et \( N \), et les côtés \( [BC] \) et \( [AC] \) respectivement en \( P \) et \( Q \). Si les rapports des longueurs des segments sont égaux, alors les droites \( d_1 \) et \( d_2 \) sont parallèles.

Exercice

On considère le triangle \( ABC \) suivant :

La longueur du segment \( [AB] \) est de \( 6 \, \text{cm} \),
La longueur du segment \( [AC] \) est de \( 4,5 \, \text{cm} \),
La longueur du segment \( [AM] \) est de \( 3 \, \text{cm} \),
La longueur du segment \( [AN] \) est de \( 2,25 \, \text{cm} \).

On veut savoir si les droites \( (MN) \) et \( (BC) \) sont parallèles. Pour cela, on utilise la réciproque du théorème de Thalès.

Résolution

1. Calcul des rapports des longueurs des segments :

Le rapport des longueurs des segments \( [AM] \) et \( [AB] \) est :

\[ \frac{\text{longueur de } [AM]}{\text{longueur de } [AB]} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}. \]

Le rapport des longueurs des segments \( [AN] \) et \( [AC] \) est :

\[ \frac{\text{longueur de } [AN]}{\text{longueur de } [AC]} = \frac{2,25}{4,5} = \frac{1}{2}. \]

2. Conclusion :

Puisque les rapports des longueurs des segments sont égaux, c'est-à-dire que :

\[ \frac{\text{longueur de } [AM]}{\text{longueur de } [AB]} = \frac{\text{longueur de } [AN]}{\text{longueur de } [AC]}, \]

d'après la réciproque du théorème de Thalès, on peut conclure que les droites \( (MN) \) et \( (BC) \) sont parallèles.

Réponse : Les droites \( (MN) \) et \( (BC) \) sont parallèles.

Reconnaitre des triangles semblables

Dans cette section, nous allons étudier comment reconnaître si deux triangles sont semblables. Deux triangles sont dits semblables si leurs angles correspondants sont égaux et si les rapports de leurs côtés correspondants sont égaux. Cela signifie que leurs formes sont identiques, mais leurs tailles peuvent être différentes.

Le critère de similitude des triangles repose donc sur la vérification de deux conditions :

Les angles correspondants sont égaux.
Les rapports des côtés correspondants sont égaux.

Nous allons maintenant aborder la résolution d'un exercice illustrant ce concept.

Exercice

Dans le triangle \( ABC \), la droite \( [DE] \) est parallèle à la droite \( [BC] \). Les points \( D \) et \( E \) se trouvent respectivement sur les côtés \( [AB] \) et \( [AC] \). On sait que la longueur de \( [AD] = 3 \, \text{cm} \), celle de \( [DB] = 6 \, \text{cm} \), et celle de \( [AE] = 4 \, \text{cm} \). Calcule la longueur de \( [EC] \) si l’on sait que \( AB = 9 \, \text{cm} \) et \( AC = 12 \, \text{cm} \).

Résolution

1. Propriétés des triangles semblables :
Le théorème de Thalès nous dit que les triangles \( ADE \) et \( ABC \) sont semblables, car la droite \( [DE] \) est parallèle à \( [BC] \). Cela implique que les angles correspondants des triangles sont égaux et que les rapports des côtés correspondants sont égaux.

2. Rapport des côtés correspondants :
Étant donné que les triangles sont semblables, nous appliquons la propriété des rapports égaux entre les côtés correspondants. Nous avons donc l'équation suivante :

\[ \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} \]

En substituant les longueurs des segments donnés dans l’énoncé :

\[ \frac{3}{9} = \frac{4}{AC} \]

3. Calcul de \( AC \) :
Résolvons l'équation pour \( AC \). Simplifions le rapport de \( AD \) à \( AB \) :

\[ \frac{1}{3} = \frac{4}{AC} \]

Pour résoudre cette équation, nous multiplions les deux membres par \( AC \) et par 3 :

\[ AC = 12 \, \text{cm} \]

4. Calcul de \( EC \) :
Nous savons que \( AC = AE + EC \), donc :

\[ EC = AC - AE = 12 \, \text{cm} - 4 \, \text{cm} = 8 \, \text{cm} \]

La longueur de \( [EC] \) est donc \( 8 \, \text{cm} \).

Capacités attendues

Calculer des longueurs dans des triangles à l'aide du théorème de Thalès.
Appliquer la réciproque du théorème de Thalès pour identifier des droites parallèles.
Reconnaître des triangles semblables et utiliser les critères de similitude.
Utiliser les propriétés du théorème de Thalès pour résoudre des problèmes géométriques pratiques.
Développer une approche logique et rigoureuse dans la résolution de problèmes de géométrie.

Crédits

Librairies :