Matez les Maths

Solides

Se repérer sur une sphère

Sur une sphère, on peut se repérer à l'aide de deux coordonnées géographiques : la longitude et la latitude. Ces coordonnées permettent de définir la position d'un point sur la surface de la sphère en utilisant un système de repérage similaire à celui utilisé sur la Terre.

Latitude

La latitude est la distance angulaire d'un point par rapport à l'équateur. Elle varie entre \(-90^\circ\) (pôle Sud) et \(+90^\circ\) (pôle Nord). Un point situé à l'équateur a une latitude de \(0^\circ\), tandis qu'un point situé au pôle Nord a une latitude de \(+90^\circ\) et un point situé au pôle Sud a une latitude de \(-90^\circ\).

Longitude

La longitude est la distance angulaire d'un point par rapport au méridien de Greenwich, qui est la référence pour la longitude. Elle varie entre \(0^\circ\) (méridien de Greenwich) et \(+180^\circ\) à l'est, ou \(-180^\circ\) à l'ouest. Un point situé à l'est du méridien de Greenwich a une longitude positive, tandis qu'un point à l'ouest a une longitude négative.

Ces deux coordonnées (latitude et longitude) permettent de localiser n'importe quel point sur la surface de la sphère.

Exercice

Déterminez les coordonnées géographiques (latitude et longitude) du point suivant : "Le point est situé à 30° au nord de l'équateur et à 60° à l'est du méridien de Greenwich."

Résolution

1. Latitude : Le point est situé à 30° au nord de l'équateur, donc sa latitude est \(+30^\circ\).

2. Longitude : Le point est situé à 60° à l'est du méridien de Greenwich, donc sa longitude est \(+60^\circ\).

Coordonnées géographiques du point :

  • Latitude : \(+30^\circ\)
  • Longitude : \(+60^\circ\)
1

Solides et volumes

Un solide est une figure géométrique en trois dimensions. Dans ce point, nous allons aborder certains solides simples et leurs volumes. Ces solides sont fréquemment utilisés dans divers contextes géométriques, et connaître leur formule de volume est essentiel. Nous allons traiter de cinq solides : le prisme droit, le cylindre de révolution, la pyramide, le cône de révolution et la boule. Chaque solide a une forme particulière, et son volume est calculé à l'aide de formules spécifiques.

Prisme droit

Un prisme droit est un solide formé par deux bases identiques qui sont des polygones et par des faces latérales qui sont des parallélogrammes. Les faces latérales sont perpendiculaires aux bases.

Formule du volume : Le volume \(V\) d'un prisme droit est donné par la formule suivante :

\(V = A_{\text{base}} \times h\)

où \(A_{\text{base}}\) est l'aire de la base et \(h\) est la hauteur du prisme (la distance perpendiculaire entre les deux bases).

Cylindre de révolution

Un cylindre de révolution est un solide obtenu en faisant tourner un rectangle autour de l’un de ses côtés. Les bases sont des cercles et la surface latérale est une surface cylindrique.

Formule du volume : Le volume \(V\) d'un cylindre de révolution est donné par la formule suivante :

\(V = \pi \times r^2 \times h\)

où \(r\) est le rayon de la base circulaire et \(h\) est la hauteur du cylindre.

Pyramide

Une pyramide est un solide dont la base est un polygone quelconque et dont les faces latérales sont des triangles qui se rejoignent en un point appelé le sommet.

Formule du volume : Le volume \(V\) d’une pyramide est donné par la formule suivante :

\(V = \frac{1}{3} \times A_{\text{base}} \times h\)

où \(A_{\text{base}}\) est l'aire de la base et \(h\) est la hauteur de la pyramide (la distance perpendiculaire entre la base et le sommet).

Cône de révolution

Un cône de révolution est un solide obtenu en faisant tourner un triangle rectangle autour de l'un de ses côtés. La base du cône est un cercle et la surface latérale est une courbe conique.

Formule du volume : Le volume \(V\) d’un cône de révolution est donné par la formule suivante :

\(V = \frac{1}{3} \times \pi \times r^2 \times h\)

où \(r\) est le rayon de la base circulaire et \(h\) est la hauteur du cône (la distance perpendiculaire entre la base et le sommet).

Boule

Une boule est un solide sphérique, c’est-à-dire un ensemble de points situés à une distance donnée (le rayon) d'un centre. La boule est donc une sphère remplie de matière.

Formule du volume : Le volume \(V\) d'une boule est donné par la formule suivante :

\(V = \frac{4}{3} \times \pi \times r^3\)

où \(r\) est le rayon de la boule.

Exercice

Calculer le volume d'un cylindre de révolution dont le rayon de la base est \(r = 4 \, \text{cm}\) et la hauteur est \(h = 10 \, \text{cm}\).

Résolution

Identification des données :

  • Rayon de la base : \(r = 4 \, \text{cm}\)
  • Hauteur : \(h = 10 \, \text{cm}\)

Application de la formule : La formule pour le volume d'un cylindre de révolution est :

\(V = \pi \times r^2 \times h\)

En remplaçant les valeurs données, nous avons :

\(V = \pi \times (4)^2 \times 10\)

\(V = \pi \times 16 \times 10\)

\(V = 160\pi \, \text{cm}^3\)

Valeur numérique : En prenant \(\pi \approx 3.1416\), nous calculons :

\(V \approx 160 \times 3.1416\)

\(V \approx 502.65 \, \text{cm}^3\)

Réponse : Le volume du cylindre est approximativement \(502.65 \, \text{cm}^3\).

2

Section planes des solides

Lorsqu'on coupe un solide par un plan, on obtient une section plane. La forme et les propriétés de cette section dépendent du type de solide coupé et de l'orientation du plan par rapport à ce solide.

Voici quelques exemples de solides et des sections planes que l'on peut obtenir en les coupant par un plan :

Parallélépipède rectangle

Un parallélépipède rectangle est un solide à six faces rectangulaires, où toutes les faces opposées sont parallèles et de même dimension.

  • Si l'on coupe un parallélépipède rectangle par un plan parallèle à ses faces, la section obtenue sera un rectangle.
  • Si l'on coupe le parallélépipède de manière oblique, la section obtenue sera un parallélogramme.

Cylindre de révolution

Un cylindre de révolution est un solide généré par la rotation d'un rectangle autour d'un axe parallèle à l'un de ses côtés.

  • Si l'on coupe un cylindre perpendiculairement à son axe, la section sera un cercle.
  • Si l'on coupe un cylindre obliquement, la section obtenue sera une ellipse.

Pyramide

Une pyramide est un solide dont la base est un polygone et les faces latérales sont des triangles ayant un sommet commun, appelé sommet de la pyramide.

  • Si l'on coupe une pyramide par un plan parallèle à la base, la section sera un polygone semblable à la base.
  • Si l'on coupe la pyramide obliquement, la section obtenue sera un trapèze, une ellipse ou un triangle, selon l'orientation du plan.

Cône de révolution

Un cône de révolution est un solide généré par la rotation d'un triangle autour d'un axe parallèle à l'un de ses côtés.

  • Si l'on coupe un cône perpendiculairement à son axe, la section sera un cercle.
  • Si l'on coupe un cône obliquement, la section sera une ellipse, un hyperbole ou une parabole, selon l'angle du plan.

Boule

Une boule est un solide parfaitement sphérique.

  • Si l'on coupe une boule par un plan, la section obtenue sera un cercle.

Exercice

On dispose d'un cylindre de révolution de rayon \( r = 5 \, \text{cm} \) et de hauteur \( h = 10 \, \text{cm} \). On coupe ce cylindre perpendiculairement à son axe. Quelle est la forme et l'aire de la section obtenue ?

Résolution

La section obtenue en coupant un cylindre de révolution perpendiculairement à son axe est un cercle.

L'aire de la section correspond à l'aire du cercle dont le rayon est égal au rayon du cylindre, c'est-à-dire \( r = 5 \, \text{cm} \).

L'aire d'un cercle est donnée par la formule :

\[ A = \pi \times r^2 \]

En remplaçant \( r \) par \( 5 \, \text{cm} \), on obtient :

\[ A = \pi \times 5^2 = \pi \times 25 \approx 78,54 \, \text{cm}^2 \]

(on utilise ici l'approximation \( \pi \approx 3,1416 \)).

Ainsi, la section obtenue est un cercle de rayon \( 5 \, \text{cm} \) et son aire est environ \( 78,54 \, \text{cm}^2 \).

3

Capacités attendues

  • Repérer des points sur une sphère à l'aide de coordonnées de longitude et de latitude.
  • Reconnaître et décrire les caractéristiques des solides étudiés : prisme droit, cylindre de révolution, pyramide, cône de révolution et boule.
  • Calculer et comparer les volumes de différents solides en utilisant les formules appropriées.
  • Analyser les sections planes de solides, notamment les parallélipipèdes rectangles, les cylindres, les pyramides, les cônes de révolution et les boules.
  • Utiliser les propriétés des sections planes pour décrire les formes obtenues lors de la coupe de solides par un plan.