Grandeurs et Proportionnalité

Reconnaitre une situation de proportionnalité, coefficient de proportionnalité

Dans certaines situations, deux grandeurs varient ensemble de manière proportionnelle. Cela signifie que l’une des grandeurs est un multiple constant de l’autre. On dit alors qu'il y a proportionnalité entre ces deux grandeurs.

Définition de la Proportionnalité

Deux grandeurs \( A \) et \( B \) sont proportionnelles s’il existe un nombre \( k \) (appelé coefficient de proportionnalité) tel que :

\( B = k \times A \)

pour chaque valeur de \( A \).

Propriété du Coefficient de Proportionnalité

Dans un tableau de proportionnalité, les quotients des valeurs correspondantes de \( B \) par celles de \( A \) sont tous égaux au coefficient de proportionnalité \( k \).

Cela signifie que, pour toutes les paires de valeurs \((A, B)\), on a :

\( \frac{B}{A} = k \)

Exemple :

Si on sait que pour une grandeur \( A = 3 \), la grandeur correspondante \( B = 12 \), alors le coefficient de proportionnalité \( k \) est :

\( k = \frac{12}{3} = 4 \)

Ainsi, on a \( B = 4 \times A \).

Exercice

On sait que le prix de trois stylos est de 6 euros. Est-ce une situation de proportionnalité ? Si oui, détermine le coefficient de proportionnalité.

Résolution

Identification des grandeurs :
- \( A \) : le nombre de stylos
- \( B \) : le prix en euros
On sait que lorsque \( A = 3 \), alors \( B = 6 \).
Calcul du coefficient de proportionnalité :

On vérifie si on peut exprimer \( B \) en fonction de \( A \) par la relation \( B = k \times A \) avec un coefficient de proportionnalité \( k \).

\( k = \frac{B}{A} = \frac{6}{3} = 2 \)
Conclusion :

Le coefficient de proportionnalité est \( k = 2 \). Cela signifie que le prix est proportionnel au nombre de stylos, avec un coefficient de proportionnalité égal à 2. On peut donc écrire la relation :

\( B = 2 \times A \)

Exploiter une situation de proportionnalité, compléter un tableau de proportionnalité, produit en croix, ratio

Dans ce point, nous abordons l’utilisation d’une situation de proportionnalité. Lorsqu’une situation est proportionnelle, il existe un coefficient de proportionnalité constant qui relie les deux grandeurs. Un tableau de proportionnalité permet de représenter ces relations de manière structurée, facilitant ainsi les calculs et les comparaisons.

Définition : Tableau de proportionnalité

Un tableau est un tableau de proportionnalité si, entre deux grandeurs, les valeurs se multiplient par le même coefficient de proportionnalité pour obtenir l’autre grandeur. Cela signifie que pour des valeurs de deux grandeurs x et y, si elles sont proportionnelles, il existe un réel k tel que : \( y = k \times x \).

Propriété : Produit en croix

Dans une situation de proportionnalité, si l’on connaît trois valeurs d’un tableau de proportionnalité, on peut retrouver la quatrième valeur inconnue à l’aide du produit en croix. Soient deux rapports \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \), alors \( a \times d = b \times c \).

Exemple :

Supposons que nous achetons des pommes et des poires, et que pour chaque kilogramme de pommes, nous payons un prix proportionnel au poids des poires.

Si 2 kg de pommes coûtent 6 €, quel sera le prix pour 5 kg de pommes ?

Exercice

Compléter le tableau suivant pour que la relation soit proportionnelle :

Quantité de pommes (kg)	Prix (€)
2	6
5	?

Résolution

Nous savons que 2 kg de pommes coûtent 6 €. Le coefficient de proportionnalité est donc :

\[ k = \frac{6}{2} = 3 \]

Pour obtenir le prix de 5 kg de pommes, nous utilisons ce coefficient de proportionnalité :

\[ \text{Prix pour 5 kg} = 5 \times 3 = 15 \, \text{€} \]

Le tableau complété est donc :

Quantité de pommes (kg)	Prix (€)
2	6
5	15

Utiliser les pourcentages : proportion, augmentation/réduction

Les pourcentages sont utilisés pour exprimer une proportion d'une quantité par rapport à un tout, sous forme de centièmes. Cela permet de comparer des parties par rapport à un ensemble.

Proportion

Le pourcentage est une manière de représenter une fraction d'une quantité par rapport à 100. Par exemple, si on dit qu'un élève a eu 75 % dans un examen, cela signifie que cet élève a réussi à répondre à 75 % des questions.

Augmentation ou Réduction

Les pourcentages permettent également de calculer les augmentations ou réductions d'une valeur initiale.

Pour une augmentation : Si une quantité est augmentée de \( p \% \), on multiplie la valeur initiale par \( p \) divisé par 100.
Pour une réduction : Si une quantité est réduite de \( p \% \), on multiplie la valeur initiale par \( p \) divisé par 100 et on soustrait ce résultat à la valeur initiale.

Les calculs de pourcentages peuvent être utilisés dans divers contextes comme le calcul du prix après remise, l'augmentation de salaire, etc.

Exercice

Le prix d'un article est de 80 €. Ce prix augmente de 15 %. Quel est le nouveau prix ?

Résolution

Nous devons d'abord calculer l'augmentation de 15 % sur le prix initial de 80 € :

\( \text{augmentation} = 80 \times \frac{15}{100} = 80 \times 0,15 = 12 \, \text{€} \)

L'augmentation est donc de 12 €.

Ensuite, pour trouver le nouveau prix, on ajoute cette augmentation au prix initial :

\( \text{nouveau prix} = 80 + 12 = 92 \, \text{€} \)

Ainsi, après une augmentation de 15 %, le nouveau prix de l'article est de 92 €.

Capacités attendues

Reconnaître une situation de proportionnalité dans un contexte donné.
Identifier et utiliser le coefficient de proportionnalité pour résoudre des problèmes.
Compléter un tableau de proportionnalité à partir d’informations données.
Utiliser le produit en croix pour résoudre des problèmes de proportionnalité.
Calculer des ratios et les utiliser pour comparer des grandeurs proportionnelles.
Appliquer les pourcentages pour déterminer des proportions dans des situations d'augmentation ou de réduction.
Résoudre des problèmes impliquant des augmentations ou des réductions en pourcentage.

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