Probabilités
Modéliser une expérience aléatoire, événement et événement contraire, équiprobabilité, lien entre fréquence et probabilité
Une expérience aléatoire est une situation où plusieurs résultats sont possibles, mais où aucun résultat particulier ne peut être prévu avec certitude. Chaque résultat possible est une issue. Par exemple, dans le cas du lancer d'une pièce de monnaie, les deux issues possibles sont "pile" et "face".
Un événement est un sous-ensemble des issues de l'expérience. Par exemple, dans l'expérience du lancer de dé, l'événement "obtenir un nombre pair" correspond à l'ensemble des issues {2, 4, 6}.
L'événement contraire d'un événement \( A \) est l'événement qui correspond à toutes les issues qui ne sont pas dans \( A \). Par exemple, si \( A \) est "obtenir un nombre pair", l'événement contraire \( \overline{A} \) est "obtenir un nombre impair", c'est-à-dire l'ensemble {1, 3, 5}.
Définition : Expérience aléatoire
Une expérience aléatoire est une situation où plusieurs résultats sont possibles, mais aucun résultat particulier ne peut être prévu avec certitude.
Définition : Événement
Un événement est un sous-ensemble des issues possibles de l'expérience.
Définition : Événement contraire
L'événement contraire d'un événement \( A \) est l'événement correspondant aux issues qui ne sont pas dans \( A \), noté \( \overline{A} \).
Équiprobabilité : On parle d'équiprobabilité lorsque toutes les issues d'une expérience ont la même probabilité de se produire. Par exemple, dans le cas d'une pièce de monnaie équilibrée, la probabilité d'obtenir "pile" est égale à la probabilité d'obtenir "face", soit \( \frac{1}{2} \) pour chaque issue.
Lien entre fréquence et probabilité : La fréquence d'un événement est le nombre de fois où cet événement se produit, divisé par le nombre total d'expériences réalisées. Par exemple, si on lance un dé 100 fois et que l'événement "obtenir un 6" se produit 15 fois, la fréquence est \( \frac{15}{100} = 0,15 \). En répétant l'expérience plusieurs fois, cette fréquence tend à approcher la probabilité théorique de l'événement.
Propriété : Équiprobabilité
Lorsque toutes les issues d'une expérience aléatoire ont la même probabilité, on parle d'équiprobabilité.
Propriété : Lien entre fréquence et probabilité
La fréquence d'un événement dans une expérience aléatoire, lorsqu'elle est calculée sur un grand nombre de répétitions, tend à approcher la probabilité théorique de l'événement.
Exercice
On lance une pièce de monnaie équilibrée. Modélisez l'expérience aléatoire et calculez la probabilité d'obtenir "pile". Quel est l'événement contraire ?
Résolution
1. Modélisation de l'expérience aléatoire : L'expérience consiste à lancer une pièce de monnaie. Les issues possibles sont :
- Pile
- Face
Cette expérience a donc deux issues possibles : {Pile, Face}.
2. Événement "obtenir Pile" : L'événement "obtenir Pile" est l'ensemble {Pile}.
3. Événement contraire : L'événement contraire de "obtenir Pile" est "obtenir Face". L'événement contraire \( \overline{\text{Pile}} \) est donc l'ensemble {Face}.
4. Probabilité de l'événement "Pile" : La pièce étant équilibrée, chaque issue a la même probabilité. La probabilité d'obtenir "Pile" est donc :
\[ P(\text{Pile}) = \frac{1}{2} \]
5. Probabilité de l'événement contraire : L'événement contraire étant "obtenir Face", sa probabilité est également :
\[ P(\overline{\text{Pile}}) = \frac{1}{2} \]
Déterminer la probabilité d'un événement
La probabilité d'un événement est une mesure du degré de certitude que cet événement se produira lors d'une expérience aléatoire. Pour déterminer la probabilité d'un événement, on doit prendre en compte l'équiprobabilité des différents résultats de l'expérience.
Définition : Probabilité d'un événement
La probabilité d'un événement \( A \) est le rapport entre le nombre de résultats favorables à cet événement et le nombre total de résultats possibles dans l'expérience. Elle est notée \( P(A) \) et est donnée par la formule :
\[ P(A) = \frac{\text{Nombre de résultats favorables à } A}{\text{Nombre total de résultats possibles}} \]
Il est important de noter que la probabilité d'un événement est toujours comprise entre 0 et 1 :
- Si \( P(A) = 0 \), cela signifie que l'événement ne se produit jamais.
- Si \( P(A) = 1 \), cela signifie que l'événement se produit toujours.
Exemple :
Supposons que nous lançons un dé à 6 faces. L'expérience aléatoire consiste à obtenir un nombre entre 1 et 6. L'événement \( A \) pourrait être « obtenir un nombre pair ». Les résultats favorables sont 2, 4 et 6, et le nombre total de résultats possibles est 6. La probabilité de cet événement est :
\[ P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \]
Exercice
Un sac contient 5 billes rouges et 3 billes bleues. On tire une bille au hasard. Quelle est la probabilité de tirer une bille rouge ?
Résolution
Le nombre total de billes dans le sac est de 5 + 3 = 8 billes. Le nombre de billes rouges est de 5. La probabilité de tirer une bille rouge est donc :
\[ P(\text{bille rouge}) = \frac{5}{8} \]
Expérience aléatoire à deux épreuves
Lorsqu'une expérience aléatoire se compose de deux épreuves successives, chacune ayant plusieurs résultats possibles, il est utile de représenter l'ensemble des résultats par un tableau à double entrée. Cette représentation permet de visualiser les différentes combinaisons des résultats de chaque épreuve.
Expérience à deux épreuves :
Prenons un exemple où l'on combine deux épreuves aléatoires :
- Première épreuve : Tirage d'une carte d'un jeu de 52 cartes, avec 13 résultats possibles : As, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, Valet, Dame, Roi.
- Deuxième épreuve : Lancer de deux dés. Chaque dé ayant 6 faces, il y a 6 × 6 = 36 résultats possibles pour cette épreuve.
L'objectif est de modéliser l'ensemble des résultats possibles de ces deux épreuves sous forme d'un tableau à double entrée.
Représentation en tableau :
Le tableau à double entrée est structuré de manière à montrer les résultats possibles de la première épreuve (tirage de carte) sur l'axe horizontal et ceux de la deuxième épreuve (lancer des dés) sur l'axe vertical.
Voici comment organiser cette information sous forme de tableau :
Carte 1 | Carte 2 | Carte 3 | Carte 4 | Carte 5 | Carte 6 | Carte 7 | Carte 8 | Carte 9 | Carte 10 | Carte 11 | Carte 12 | Carte 13 | |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Dé 1-1 | (Carte 1, Dé 1-1) | (Carte 2, Dé 1-1) | (Carte 3, Dé 1-1) | (Carte 4, Dé 1-1) | (Carte 5, Dé 1-1) | (Carte 6, Dé 1-1) | (Carte 7, Dé 1-1) | (Carte 8, Dé 1-1) | (Carte 9, Dé 1-1) | (Carte 10, Dé 1-1) | (Carte 11, Dé 1-1) | (Carte 12, Dé 1-1) | (Carte 13, Dé 1-1) |
Dé 1-2 | (Carte 1, Dé 1-2) | (Carte 2, Dé 1-2) | (Carte 3, Dé 1-2) | (Carte 4, Dé 1-2) | (Carte 5, Dé 1-2) | (Carte 6, Dé 1-2) | (Carte 7, Dé 1-2) | (Carte 8, Dé 1-2) | (Carte 9, Dé 1-2) | (Carte 10, Dé 1-2) | (Carte 11, Dé 1-2) | (Carte 12, Dé 1-2) | (Carte 13, Dé 1-2) |
Dé 2-1 | (Carte 1, Dé 2-1) | (Carte 2, Dé 2-1) | (Carte 3, Dé 2-1) | (Carte 4, Dé 2-1) | (Carte 5, Dé 2-1) | (Carte 6, Dé 2-1) | (Carte 7, Dé 2-1) | (Carte 8, Dé 2-1) | (Carte 9, Dé 2-1) | (Carte 10, Dé 2-1) | (Carte 11, Dé 2-1) | (Carte 12, Dé 2-1) | (Carte 13, Dé 2-1) |
Dé 6-6 | (Carte 1, Dé 6-6) | (Carte 2, Dé 6-6) | (Carte 3, Dé 6-6) | (Carte 4, Dé 6-6) | (Carte 5, Dé 6-6) | (Carte 6, Dé 6-6) | (Carte 7, Dé 6-6) | (Carte 8, Dé 6-6) | (Carte 9, Dé 6-6) | (Carte 10, Dé 6-6) | (Carte 11, Dé 6-6) | (Carte 12, Dé 6-6) | (Carte 13, Dé 6-6) |
Dans ce tableau, chaque cellule représente une combinaison des résultats des deux épreuves. Par exemple, la cellule (Carte 1, Dé 1-1) représente un tirage de la carte "Carte 1" et un lancer des dés donnant le résultat "1" pour le premier dé et "1" pour le deuxième dé.
Ensemble des résultats :
L'ensemble des résultats de cette expérience est constitué de toutes les combinaisons possibles des résultats des deux épreuves. Dans l'exemple précédent, cela donne un total de 13 (résultats possibles de la première épreuve) × 36 (résultats possibles de la deuxième épreuve), soit 468 résultats possibles.
Exercice
Une expérience consiste à tirer une carte d'un jeu de 52 cartes, suivi d'un lancer de deux dés. Représentez l'ensemble des résultats possibles de cette expérience à l'aide d'un tableau à double entrée.
Correction
Le tableau représentant l'ensemble des résultats possibles serait une matrice de 52 lignes (pour les 52 cartes) et de 36 colonnes (pour les résultats des dés). Chaque cellule contient une paire correspondant à une carte et un lancer de dés.
Capacités attendues
- Modéliser une expérience aléatoire en identifiant les événements possibles.
- Définir un événement et son événement contraire.
- Calculer la probabilité d'un événement dans le cadre d'une expérience aléatoire simple.
- Comprendre et utiliser le principe d'équiprobabilité pour déterminer la probabilité d'événements.
- Relier la fréquence des résultats à la probabilité théorique d'un événement.
- Représenter les résultats d'une expérience aléatoire à deux épreuves à l'aide d'un tableau à double entrée.
Librairies :
- Bootstrap: https://getbootstrap.com
- Font Awesome: https://fontawesome.com
- jQuery: https://jquery.com
- MathJax: https://www.mathjax.org