Probabilités

Modéliser une expérience aléatoire, événement et événement contraire, équiprobabilité, lien entre fréquence et probabilité

Une expérience aléatoire est une situation où plusieurs résultats sont possibles, mais où aucun résultat particulier ne peut être prévu avec certitude. Chaque résultat possible est une issue. Par exemple, dans le cas du lancer d'une pièce de monnaie, les deux issues possibles sont "pile" et "face".

Un événement est un sous-ensemble des issues de l'expérience. Par exemple, dans l'expérience du lancer de dé, l'événement "obtenir un nombre pair" correspond à l'ensemble des issues {2, 4, 6}.

L'événement contraire d'un événement \( A \) est l'événement qui correspond à toutes les issues qui ne sont pas dans \( A \). Par exemple, si \( A \) est "obtenir un nombre pair", l'événement contraire \( \overline{A} \) est "obtenir un nombre impair", c'est-à-dire l'ensemble {1, 3, 5}.

Équiprobabilité : On parle d'équiprobabilité lorsque toutes les issues d'une expérience ont la même probabilité de se produire. Par exemple, dans le cas d'une pièce de monnaie équilibrée, la probabilité d'obtenir "pile" est égale à la probabilité d'obtenir "face", soit \( \frac{1}{2} \) pour chaque issue.

Lien entre fréquence et probabilité : La fréquence d'un événement est le nombre de fois où cet événement se produit, divisé par le nombre total d'expériences réalisées. Par exemple, si on lance un dé 100 fois et que l'événement "obtenir un 6" se produit 15 fois, la fréquence est \( \frac{15}{100} = 0,15 \). En répétant l'expérience plusieurs fois, cette fréquence tend à approcher la probabilité théorique de l'événement.

Déterminer la probabilité d'un événement

La probabilité d'un événement est une mesure du degré de certitude que cet événement se produira lors d'une expérience aléatoire. Pour déterminer la probabilité d'un événement, on doit prendre en compte l'équiprobabilité des différents résultats de l'expérience.

Il est important de noter que la probabilité d'un événement est toujours comprise entre 0 et 1 :

• Si \( P(A) = 0 \), cela signifie que l'événement ne se produit jamais.
• Si \( P(A) = 1 \), cela signifie que l'événement se produit toujours.

Expérience aléatoire à deux épreuves

Lorsqu'une expérience aléatoire se compose de deux épreuves successives, chacune ayant plusieurs résultats possibles, il est utile de représenter l'ensemble des résultats par un tableau à double entrée. Cette représentation permet de visualiser les différentes combinaisons des résultats de chaque épreuve.

Expérience à deux épreuves :

Prenons un exemple où l'on combine deux épreuves aléatoires :

• Première épreuve : Tirage d'une carte d'un jeu de 52 cartes, avec 13 résultats possibles : As, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, Valet, Dame, Roi.
• Deuxième épreuve : Lancer de deux dés. Chaque dé ayant 6 faces, il y a 6 × 6 = 36 résultats possibles pour cette épreuve.

L'objectif est de modéliser l'ensemble des résultats possibles de ces deux épreuves sous forme d'un tableau à double entrée.

Représentation en tableau :

Le tableau à double entrée est structuré de manière à montrer les résultats possibles de la première épreuve (tirage de carte) sur l'axe horizontal et ceux de la deuxième épreuve (lancer des dés) sur l'axe vertical.

Voici comment organiser cette information sous forme de tableau :

Dans ce tableau, chaque cellule représente une combinaison des résultats des deux épreuves. Par exemple, la cellule (Carte 1, Dé 1-1) représente un tirage de la carte "Carte 1" et un lancer des dés donnant le résultat "1" pour le premier dé et "1" pour le deuxième dé.

Ensemble des résultats :

L'ensemble des résultats de cette expérience est constitué de toutes les combinaisons possibles des résultats des deux épreuves. Dans l'exemple précédent, cela donne un total de 13 (résultats possibles de la première épreuve) × 36 (résultats possibles de la deuxième épreuve), soit 468 résultats possibles.