Nombres rationnels

Calculer avec des nombres relatifs

Les nombres relatifs incluent les nombres entiers positifs, négatifs et le zéro. Nous allons nous intéresser ici aux calculs avec ces nombres, en abordant les notions suivantes :

Opposé d’un nombre
Soustraction de deux nombres relatifs
Signe du produit et de la division de deux nombres relatifs

Opposé d'un nombre

L'opposé d'un nombre relatif \( a \) est le nombre qui a le même module (valeur absolue) mais un signe opposé. On note l'opposé de \( a \) sous la forme \( -a \).

Exemple :

- L'opposé de \( 3 \) est \( -3 \),

- L'opposé de \( -5 \) est \( 5 \).

Soustraction de deux nombres relatifs

La soustraction de deux nombres relatifs peut être transformée en une addition d'opposés. Autrement dit, pour soustraire un nombre \( b \) à un nombre \( a \), on ajoute l’opposé de \( b \) à \( a \). Cela s'écrit :

\[ a - b = a + (-b) \]

Exemple :

- \( 5 - 3 = 5 + (-3) = 2 \),

- \( -7 - 4 = -7 + (-4) = -11 \).

Signe du produit et de la division de deux nombres relatifs

1. Produit : Le produit de deux nombres relatifs dépend de leurs signes :

Si les deux nombres sont de même signe (positifs ou négatifs), leur produit est positif.
Si les deux nombres sont de signes opposés, leur produit est négatif.

2. Division : La règle pour la division est similaire à celle du produit :

Si les deux nombres sont de même signe, le quotient est positif.
Si les deux nombres sont de signes opposés, le quotient est négatif.

Règles :

\( (+) \times (+) = + \)
\( (+) \times (-) = - \)
\( (-) \times (-) = + \)
\( (+) \div (+) = + \)
\( (+) \div (-) = - \)
\( (-) \div (-) = + \)

Exemple :

- \( 3 \times 4 = 12 \),

- \( 3 \times (-4) = -12 \),

- \( -3 \div 6 = -0,5 \),

- \( -6 \div (-2) = 3 \).

Exercice

Calculer les résultats des expressions suivantes :

\( -6 - 4 \)
\( 3 \times (-5) \)
\( -8 \div 2 \)
\( -7 - (-2) \)

Résolution

1. \( -6 - 4 = -6 + (-4) = -10 \)

2. \( 3 \times (-5) = -15 \)

3. \( -8 \div 2 = -4 \)

4. \( -7 - (-2) = -7 + 2 = -5 \)

Calculer avec des puissances : notation \(a^n\) (avec \(n > 0\)), priorité des opérations, notation \(a^n\) (avec \(n < 0\)), écriture scientifique

Dans cette section, nous allons aborder le calcul avec des puissances, notamment la notation des puissances avec un exposant positif et négatif, ainsi que l'écriture scientifique.

Définition : Puissance d'un nombre

La puissance d'un nombre \(a\) élevé à un exposant \(n\), notée \(a^n\), représente le produit de \(a\) multiplié par lui-même \(n\) fois si \(n\) est un entier positif.

Propriété : Priorité des opérations

Les puissances sont calculées après les opérations de multiplication et de division, mais avant celles d'addition et de soustraction.

Notation pour \(a^n\) avec \(n > 0\) : Si \(n\) est un entier positif, \(a^n\) est simplement le produit de \(a\) répété \(n\) fois, soit \(a \times a \times \cdots \times a\) (\(n\) facteurs de \(a\)).
Notation pour \(a^n\) avec \(n < 0\) : Si \(n\) est un entier négatif, la notation \(a^n\) est équivalente à \(\frac{1}{a^{-n}}\), c'est-à-dire que la puissance négative inverse le nombre \(a\) et applique la règle de la puissance avec un exposant positif.

Exemple :

Calculons \(3^2\) et \(3^{-2}\).

Exemple 1 : \(3^2 = 3 \times 3 = 9\)
Exemple 2 : \(3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}\)

Définition : Écriture scientifique

L'écriture scientifique est une manière d'écrire les grands nombres ou les très petits nombres sous la forme \(a \times 10^n\), où \(a\) est un nombre décimal et \(n\) est un entier.

Exercice

Effectuer les calculs suivants :

Calculer \(4^3\) et \(4^{-3}\).
Écrire \(0.00025\) sous forme d'écriture scientifique.

Résolution

1. Calcul de \(4^3\) et \(4^{-3}\) :

Calcul de \(4^3\) : \(4^3 = 4 \times 4 \times 4 = 64\).
Calcul de \(4^{-3}\) : \(4^{-3} = \frac{1}{4^3} = \frac{1}{64}\).

2. Écriture scientifique de \(0.00025\) :

Nous avons \(0.00025 = 2.5 \times 10^{-4}\).

Forme irréductible d'une fraction

Lorsqu'on travaille avec des fractions, il est souvent nécessaire de simplifier une fraction pour qu'elle soit sous sa forme irréductible. Cela permet de rendre les calculs plus simples et plus lisibles. Une fraction est dite irréductible si le numérateur et le dénominateur n'ont aucun facteur commun autre que 1. Voici les étapes essentielles pour simplifier une fraction :

Décomposer le numérateur et le dénominateur en facteurs premiers.
Calculer le plus grand commun diviseur (PGCD) des deux nombres.
Diviser le numérateur et le dénominateur par leur PGCD pour obtenir la fraction irréductible.

Nombre rationnel

Un nombre rationnel est un nombre qui peut être exprimé sous la forme d'une fraction, c'est-à-dire sous la forme \( \frac{a}{b} \), où \( a \) et \( b \) sont des entiers relatifs, et \( b \neq 0 \).

Forme irréductible

Une fraction est dite irréductible si son numérateur et son dénominateur n'ont aucun facteur commun autre que 1. En d'autres termes, leur plus grand commun diviseur (PGCD) est égal à 1.

Exemple :

Considérons la fraction \( \frac{24}{36} \). Pour la simplifier :

Nous décomposons 24 et 36 en facteurs premiers :

24 = \( 2^3 \times 3 \)
36 = \( 2^2 \times 3^2 \)

Le PGCD de 24 et 36 est \( 2^2 \times 3 = 12 \).
Nous divisons à la fois le numérateur et le dénominateur par 12 :

\( \frac{24}{12} = 2 \)
\( \frac{36}{12} = 3 \)

La fraction simplifiée est donc \( \frac{2}{3} \), qui est la forme irréductible de \( \frac{24}{36} \).

Exercice

Simplifie la fraction \( \frac{40}{60} \).

Résolution

Pour simplifier \( \frac{40}{60} \), nous procédons comme suit :

Décomposons 40 et 60 en facteurs premiers :

40 = \( 2^3 \times 5 \)
60 = \( 2^2 \times 3 \times 5 \)

Le PGCD de 40 et 60 est \( 2^2 \times 5 = 20 \).
Divisons à la fois le numérateur et le dénominateur par 20 :

\( \frac{40}{20} = 2 \)
\( \frac{60}{20} = 3 \)

La fraction simplifiée est donc \( \frac{2}{3} \).

Calculer avec des fractions

Dans ce point, nous allons aborder les différentes opérations que l'on peut effectuer avec des fractions : somme, différence, multiplication, inverse et division de fractions.

Somme et différence de fractions

Pour additionner ou soustraire deux fractions, il faut d'abord les réduire au même dénominateur. Une fois qu'elles ont le même dénominateur, on additionne ou soustrait les numérateurs.

Multiplication de fractions

La multiplication de deux fractions se fait en multipliant les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux :

\(\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}\)

Inverse d'une fraction

L'inverse d'une fraction \(\frac{a}{b}\) est la fraction \(\frac{b}{a}\), à condition que \(a \neq 0\).

Division de fractions

Pour diviser une fraction par une autre, on multiplie la première fraction par l'inverse de la seconde :

\(\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} = \frac{a \times d}{b \times c}\)

Exercice

Calculer : \(\frac{2}{3} + \frac{5}{6}\), \(\frac{4}{5} - \frac{3}{10}\), \(\frac{3}{4} \times \frac{2}{7}\) et \(\frac{5}{6} \div \frac{2}{3}\).

Résolution

1) \(\frac{2}{3} + \frac{5}{6}\) :
On commence par réduire les fractions au même dénominateur. Le dénominateur commun est 6.
\(\frac{2}{3} = \frac{4}{6}\), donc :
\(\frac{4}{6} + \frac{5}{6} = \frac{9}{6} = 1\frac{1}{2}\).

2) \(\frac{4}{5} - \frac{3}{10}\) :
Le dénominateur commun est 10.
\(\frac{4}{5} = \frac{8}{10}\), donc :
\(\frac{8}{10} - \frac{3}{10} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}\).

3) \(\frac{3}{4} \times \frac{2}{7}\) :
On multiplie les numérateurs et les dénominateurs :
\(\frac{3 \times 2}{4 \times 7} = \frac{6}{28} = \frac{3}{14}\).

4) \(\frac{5}{6} \div \frac{2}{3}\) :
On multiplie \(\frac{5}{6}\) par l'inverse de \(\frac{2}{3}\), soit \(\frac{3}{2}\) :
\(\frac{5}{6} \times \frac{3}{2} = \frac{5 \times 3}{6 \times 2} = \frac{15}{12} = \frac{5}{4}\).

Capacités attendues

Calculer avec des nombres relatifs : opposé d'un nombre, soustraction de deux nombres, signe du produit et de la division de deux nombres.
Manipuler les puissances : comprendre la notation a^n pour n > 0, respecter la priorité des opérations, et utiliser la notation a^n pour n < 0, ainsi que l'écriture scientifique.
Simplifier une fraction et la mettre sous forme irréductible en utilisant la décomposition en facteurs premiers.
Effectuer des opérations sur les fractions : addition, soustraction, multiplication, division, et calcul de l'inverse d'une fraction.

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