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Nombres entiers

Division euclidienne, diviseur, multiple, critères de divisibilité

Division euclidienne

Lorsqu'on divise un nombre entier \( a \) par un autre entier \( b \) non nul, on peut exprimer \( a \) sous la forme :

\[ a = b \times q + r \]

où \( q \) est le quotient, \( r \) est le reste, et \( 0 \leq r < b \).

Exemple :

Pour diviser \( 17 \) par \( 5 \), on obtient :

\[ 17 = 5 \times 3 + 2 \]

Ici, le quotient \( q \) est \( 3 \), et le reste \( r \) est \( 2 \).

Diviseur et multiple

Un nombre entier \( b \) est un diviseur d'un entier \( a \) si la division euclidienne de \( a \) par \( b \) donne un reste nul, c'est-à-dire si \( a = b \times k \) pour un certain entier \( k \). Dans ce cas, on dit que \( a \) est un multiple de \( b \).

Exemple :

\( 24 \) est un multiple de \( 6 \) car \( 24 = 6 \times 4 \).

Critères de divisibilité

Les critères de divisibilité permettent de déterminer si un nombre est divisible par certains nombres sans effectuer la division.

  • Divisibilité par 2 : Un nombre est divisible par 2 si son chiffre des unités est pair (0, 2, 4, 6, 8).
  • Divisibilité par 3 : Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est un multiple de 3.
  • Divisibilité par 5 : Un nombre est divisible par 5 si son chiffre des unités est 0 ou 5.
  • Divisibilité par 9 : Un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est un multiple de 9.
  • Divisibilité par 10 : Un nombre est divisible par 10 si son chiffre des unités est 0.

Exercice

Déterminer si les nombres suivants sont divisibles par 2, 3, 5, 9 et 10, en justifiant chaque réponse avec les critères de divisibilité :

  1. \( 156 \)
  2. \( 225 \)

Résolution

Nombre \( 156 \)

  • Divisibilité par 2 : Le chiffre des unités est \( 6 \), qui est pair. Donc, \( 156 \) est divisible par 2.
  • Divisibilité par 3 : La somme des chiffres est \( 1 + 5 + 6 = 12 \). Or, \( 12 \) est un multiple de 3. Donc, \( 156 \) est divisible par 3.
  • Divisibilité par 5 : Le chiffre des unités est \( 6 \), qui n'est ni \( 0 \) ni \( 5 \). Donc, \( 156 \) n'est pas divisible par 5.
  • Divisibilité par 9 : La somme des chiffres est \( 12 \), et \( 12 \) n'est pas un multiple de 9. Donc, \( 156 \) n'est pas divisible par 9.
  • Divisibilité par 10 : Le chiffre des unités est \( 6 \), donc \( 156 \) n'est pas divisible par 10.

Résumé pour \( 156 \) : \( 156 \) est divisible par \( 2 \) et \( 3 \) uniquement.

Nombre \( 225 \)

  • Divisibilité par 2 : Le chiffre des unités est \( 5 \), qui n'est pas pair. Donc, \( 225 \) n'est pas divisible par 2.
  • Divisibilité par 3 : La somme des chiffres est \( 2 + 2 + 5 = 9 \). Or, \( 9 \) est un multiple de 3. Donc, \( 225 \) est divisible par 3.
  • Divisibilité par 5 : Le chiffre des unités est \( 5 \), donc \( 225 \) est divisible par 5.
  • Divisibilité par 9 : La somme des chiffres est \( 9 \), qui est un multiple de 9. Donc, \( 225 \) est divisible par 9.
  • Divisibilité par 10 : Le chiffre des unités est \( 5 \), donc \( 225 \) n'est pas divisible par 10.

Résumé pour \( 225 \) : \( 225 \) est divisible par \( 3 \), \( 5 \), et \( 9 \).

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Nombres premiers et décomposition en facteurs premiers

Définition de nombre premier

Un nombre premier est un nombre entier naturel supérieur à 1 qui admet exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.

Les nombres premiers inférieurs à 30 sont :

  • 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 et 29.

Décomposition en facteurs premiers

La décomposition en facteurs premiers d'un nombre entier naturel est l'expression de ce nombre comme un produit de nombres premiers.

Exemple :

La décomposition en facteurs premiers de 60 est :

\( 60 = 2 \times 2 \times 3 \times 5 \)

On peut aussi écrire cette décomposition en utilisant les puissances :

\( 60 = 2^2 \times 3 \times 5 \)

Exercice

Décompose le nombre 84 en facteurs premiers.

Résolution

  1. 84 est un nombre pair, donc il est divisible par 2 :

    \( 84 \div 2 = 42 \)

  2. 42 est également pair, donc divisible par 2 :

    \( 42 \div 2 = 21 \)

  3. 21 est divisible par 3, car la somme de ses chiffres (2 + 1) est 3, qui est multiple de 3 :

    \( 21 \div 3 = 7 \)

  4. 7 est un nombre premier.

La décomposition en facteurs premiers de 84 est donc :

\( 84 = 2^2 \times 3 \times 7 \)

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Capacités attendues

  • Réaliser une division euclidienne entre deux entiers.
  • Identifier et utiliser les diviseurs et multiples d'un nombre.
  • Appliquer les critères de divisibilité pour les nombres 2, 3, 5, 9 et 10.
  • Reconnaître les nombres premiers et les énumérer jusqu'à 30.
  • Décomposer un nombre entier en produits de facteurs premiers.