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Fonctions

Déterminer les images et les antécédents

Une fonction associe à chaque élément d'un ensemble donné un et un seul élément d'un autre ensemble. Ces éléments sont appelés les antécédents et les images de la fonction.

Antécédent

Soit \( f \) une fonction, un antécédent de \( y \) est un élément \( x \) tel que \( f(x) = y \). Autrement dit, \( x \) est l'élément de départ qui est transformé en \( y \) par la fonction \( f \).

Image

L'image d'un antécédent \( x \) est le résultat obtenu par l'application de la fonction \( f \) sur \( x \), c'est-à-dire \( y = f(x) \).

En résumé :

  • Si \( f : X \to Y \) est une fonction, pour chaque \( x \in X \), il existe un unique \( y \in Y \) tel que \( f(x) = y \).
  • \( x \) est appelé antécédent de \( y \).
  • \( y \) est appelé image de \( x \).

Récapitulatif

Voici un tableau récapitulatif des notions d'antécédent et d'image :

Notion Définition
Antécédent L'élément \( x \) tel que \( f(x) = y \).
Image L'élément \( y \) obtenu par \( f(x) \).

Exercice

Question 1 : Déterminer l'image de \( x = 4 \) pour la fonction \( f(x) = 2x + 3 \).

Question 2 : Déterminer les antécédents de \( y = 7 \) pour la fonction \( f(x) = 2x + 3 \).

Résolution

Réponse à la question 1 :

On remplace \( x \) par 4 dans la fonction \( f(x) = 2x + 3 \) :

\( f(4) = 2 \times 4 + 3 = 8 + 3 = 11 \)

L'image de \( x = 4 \) est donc \( f(4) = 11 \).

Réponse à la question 2 :

On cherche \( x \) tel que \( f(x) = 7 \), c'est-à-dire résoudre l'équation \( 2x + 3 = 7 \) :

\( 2x + 3 = 7 \)

On soustrait 3 des deux côtés : \( 2x = 7 - 3 = 4 \)

On divise par 2 : \( x = \frac{4}{2} = 2 \)

L'antécédent de \( y = 7 \) est donc \( x = 2 \).

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Représentation graphique d'une fonction : tracer un graphique, lire un graphique

La représentation graphique d'une fonction permet de visualiser les relations entre les valeurs de la variable indépendante \(x\) et les valeurs de la fonction \(f(x)\). Cette représentation est souvent réalisée dans un repère cartésien, où l'on place les points associés à chaque valeur de \(x\) et \(f(x)\) sur les axes respectifs.

Graphique d'une fonction

Le graphique d'une fonction est l'ensemble des points \(M(x, f(x))\) dans le plan, où \(x\) est une valeur de la variable indépendante et \(f(x)\) la valeur correspondante de la fonction. Ces points sont représentés dans un repère cartésien.

Pour tracer le graphique d'une fonction, il est nécessaire de connaître l'expression de la fonction, puis de calculer les valeurs de \(f(x)\) pour différentes valeurs de \(x\). Les points obtenus sont ensuite placés sur le graphique et reliés si nécessaire.

Exemple :

Si on considère la fonction \(f(x) = 2x + 1\), voici comment procéder pour tracer son graphique :

  • Calculer \(f(x)\) pour plusieurs valeurs de \(x\) (par exemple, \(x = -2, 0, 2\)) :
    • Pour \(x = -2\), \(f(-2) = 2 \times (-2) + 1 = -3\)
    • Pour \(x = 0\), \(f(0) = 2 \times 0 + 1 = 1\)
    • Pour \(x = 2\), \(f(2) = 2 \times 2 + 1 = 5\)
  • Placer les points \((-2, -3)\), \((0, 1)\), \((2, 5)\) sur un graphique.
  • Relier les points pour obtenir la droite représentant la fonction.

La lecture d'un graphique permet de déterminer l'image d'un antécédent ou l'antécédent d'une image, en se basant sur l'ordonnée et l'abscisse des points du graphique.

Exercice

Voici le graphique d'une fonction \(f\). Le graphique est une droite passant par les points \(A(0, 2)\) et \(B(3, 5)\).

  1. Tracez le graphique de la fonction \(f\).
  2. Trouvez l'image de \(x = 2\) sur le graphique.
  3. Trouvez l'antécédent de \(y = 4\) sur le graphique.

Résolution

  1. Pour tracer le graphique, on place les points \(A(0, 2)\) et \(B(3, 5)\) sur le repère. Ensuite, on relie les deux points pour obtenir la droite représentant la fonction.
  2. Pour trouver l'image de \(x = 2\), on trace une ligne verticale à partir de \(x = 2\) sur le graphique. Cette verticale croise la droite en un point dont l'ordonnée est \(4\), donc \(f(2) = 4\).
  3. Pour trouver l'antécédent de \(y = 4\), on trace une ligne horizontale à partir de \(y = 4\) sur le graphique. Cette horizontale croise la droite en un point dont l'abscisse est \(2\), donc l'antécédent de \(4\) est \(x = 2\).
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Fonctions linéaires et modélisation de situations de proportionnalité

Les fonctions linéaires sont des fonctions particulières dont la forme générale est :

\( f(x) = a \times x \)

où \( a \) est un nombre réel appelé coefficient directeur de la fonction. Cette fonction modélise une situation de proportionnalité, où la variation de \( f(x) \) est directement proportionnelle à celle de \( x \). Cela signifie que pour chaque augmentation de \( x \), \( f(x) \) varie de manière régulière selon le facteur \( a \).

Définition de la fonction linéaire

Une fonction linéaire est une fonction de la forme \( f(x) = a \times x \), où \( a \) est un réel. Cette fonction représente une relation de proportionnalité entre \( x \) et \( f(x) \), et son graphique est une droite passant par l'origine du repère.

Quelques caractéristiques importantes des fonctions linéaires :

  • Le graphique de la fonction est une droite passant par l'origine du repère (0,0).
  • La pente de cette droite est donnée par le coefficient \( a \), ce qui indique la variation de \( f(x) \) pour chaque unité de \( x \).
  • Si \( a > 0 \), la droite est croissante ; si \( a < 0 \), la droite est décroissante.
  • Lorsque \( a = 0 \), la fonction devient une constante et le graphique est une droite horizontale passant par l'origine.

Ces fonctions sont très utiles pour modéliser des situations de proportionnalité, où deux grandeurs varient de manière régulière et prévisible.

Exercice

Dans un magasin, le coût d'une carte est fonction du nombre de cartes achetées. Si le coût d'une carte est de 5 €, on vous demande de modéliser cette situation à l'aide d'une fonction linéaire et de calculer le coût pour l'achat de 250 cartes.

Résolution

La situation nous indique que le coût par carte est constant, donc il s'agit d'une fonction linéaire. On peut modéliser cette fonction par :

f(x) = 5 \times x

où \( x \) représente le nombre de cartes et \( f(x) \) représente le coût total en euros. Pour déterminer le coût pour 250 cartes, on remplace \( x \) par 250 :

f(250) = 5 \times 250 = 1250

Le coût pour l'achat de 250 cartes est de 1250 €.

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Fonctions affines, déterminer les paramètres d'une fonction affine à partir d'un graphique

Une fonction affine est une fonction qui peut être représentée par une droite dans le plan. Elle est de la forme :

f(x) = ax + b

où :

  • a est le coefficient directeur de la droite (ou pente),
  • b est l'ordonnée à l'origine (l'intersection de la droite avec l'axe des ordonnées).

Pour déterminer les paramètres a et b à partir du graphique d'une fonction affine, il faut procéder comme suit :

  1. Lire l'ordonnée à l'origine b sur le graphique. Cette valeur correspond à l'endroit où la droite coupe l'axe des ordonnées.
  2. Calculer le coefficient directeur a en utilisant la formule suivante :

a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

où les points (x_1, y_1) et (x_2, y_2) sont deux points distincts de la droite. Cette formule permet de déterminer la pente de la droite en fonction des coordonnées de ces deux points.

Une fois ces deux paramètres déterminés, l'équation de la fonction affine peut être écrite sous la forme f(x) = ax + b.

Exemple :

Voici un graphique représentant une fonction affine :

Graphique de la fonction affine

Sur ce graphique, on peut lire que la droite coupe l'axe des ordonnées en b = 3. De plus, on peut choisir deux points sur la droite : (1, 5) et (3, 7).

Calculons le coefficient directeur :

a = \frac{7 - 5}{3 - 1} = \frac{2}{2} = 1

L'équation de la fonction affine est donc :

f(x) = 1 \times x + 3

On peut vérifier que cette fonction passe bien par les points (1, 5) et (3, 7).

Exercice

Sur le graphique ci-dessous, on représente une fonction affine. Lire l'ordonnée à l'origine et déterminer le coefficient directeur de la droite.

Graphique de l'exercice

Résolution

Dans ce graphique, on peut observer que la droite coupe l'axe des ordonnées en b = -2. Pour calculer le coefficient directeur, on choisit les points (0, -2) et (2, 2).

Le coefficient directeur est donc :

a = \frac{2 - (-2)}{2 - 0} = \frac{4}{2} = 2

L'équation de la fonction affine est alors :

f(x) = 2 \times x - 2

Vérification : lorsque x = 0, f(0) = -2, ce qui correspond à l'ordonnée à l'origine lue sur le graphique. Lorsque x = 2, f(2) = 2 \times 2 - 2 = 2, ce qui confirme que la droite passe par les points (0, -2) et (2, 2).

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Capacités attendues

  • Déterminer les images et les antécédents d'une fonction donnée.
  • Représenter graphiquement une fonction et en interpréter les caractéristiques.
  • Tracer un graphique de fonction linéaire et en extraire les paramètres (coefficient directeur et ordonnée à l'origine).
  • Modéliser une situation de proportionnalité à l'aide d'une fonction linéaire.
  • Identifier les paramètres d'une fonction affine à partir d'un graphique.