Fonctions

Déterminer les images et les antécédents

Une fonction associe à chaque élément d'un ensemble donné un et un seul élément d'un autre ensemble. Ces éléments sont appelés les antécédents et les images de la fonction.

En résumé :

• Si \( f : X \to Y \) est une fonction, pour chaque \( x \in X \), il existe un unique \( y \in Y \) tel que \( f(x) = y \).
• \( x \) est appelé antécédent de \( y \).
• \( y \) est appelé image de \( x \).

Représentation graphique d'une fonction : tracer un graphique, lire un graphique

La représentation graphique d'une fonction permet de visualiser les relations entre les valeurs de la variable indépendante \(x\) et les valeurs de la fonction \(f(x)\). Cette représentation est souvent réalisée dans un repère cartésien, où l'on place les points associés à chaque valeur de \(x\) et \(f(x)\) sur les axes respectifs.

Pour tracer le graphique d'une fonction, il est nécessaire de connaître l'expression de la fonction, puis de calculer les valeurs de \(f(x)\) pour différentes valeurs de \(x\). Les points obtenus sont ensuite placés sur le graphique et reliés si nécessaire.

La lecture d'un graphique permet de déterminer l'image d'un antécédent ou l'antécédent d'une image, en se basant sur l'ordonnée et l'abscisse des points du graphique.

Fonctions linéaires et modélisation de situations de proportionnalité

Les fonctions linéaires sont des fonctions particulières dont la forme générale est :

\( f(x) = a \times x \)

où \( a \) est un nombre réel appelé coefficient directeur de la fonction. Cette fonction modélise une situation de proportionnalité, où la variation de \( f(x) \) est directement proportionnelle à celle de \( x \). Cela signifie que pour chaque augmentation de \( x \), \( f(x) \) varie de manière régulière selon le facteur \( a \).

Quelques caractéristiques importantes des fonctions linéaires :

• Le graphique de la fonction est une droite passant par l'origine du repère (0,0).
• La pente de cette droite est donnée par le coefficient \( a \), ce qui indique la variation de \( f(x) \) pour chaque unité de \( x \).
• Si \( a > 0 \), la droite est croissante ; si \( a < 0 \), la droite est décroissante.
• Lorsque \( a = 0 \), la fonction devient une constante et le graphique est une droite horizontale passant par l'origine.

Ces fonctions sont très utiles pour modéliser des situations de proportionnalité, où deux grandeurs varient de manière régulière et prévisible.

Fonctions affines, déterminer les paramètres d'une fonction affine à partir d'un graphique

Une fonction affine est une fonction qui peut être représentée par une droite dans le plan. Elle est de la forme :

f(x) = ax + b

où :

• a est le coefficient directeur de la droite (ou pente),
• b est l'ordonnée à l'origine (l'intersection de la droite avec l'axe des ordonnées).

Pour déterminer les paramètres a et b à partir du graphique d'une fonction affine, il faut procéder comme suit :

1. Lire l'ordonnée à l'origine b sur le graphique. Cette valeur correspond à l'endroit où la droite coupe l'axe des ordonnées.
2. Calculer le coefficient directeur a en utilisant la formule suivante :

a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

où les points (x_1, y_1) et (x_2, y_2) sont deux points distincts de la droite. Cette formule permet de déterminer la pente de la droite en fonction des coordonnées de ces deux points.

Une fois ces deux paramètres déterminés, l'équation de la fonction affine peut être écrite sous la forme f(x) = ax + b.