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Équations du premier degré

Résoudre une équation du premier degré

Une équation du premier degré est une équation qui peut être mise sous la forme générale :

\( ax + b = 0 \)

où \( a \) et \( b \) sont des nombres réels, et \( x \) est l'inconnue.

Objectif

L'objectif est de trouver la valeur de \( x \) qui rend l'égalité vraie. Pour cela, il faut isoler \( x \) d'un côté de l'équation.

Méthode de résolution

Pour résoudre une équation du premier degré, on procède de la manière suivante :

  • Isoler \( x \) : Si l'inconnue \( x \) est accompagnée de coefficients, il faut d'abord déplacer tous les termes sans \( x \) de l'autre côté de l'égalité.
  • Simplifier : Une fois les termes déplacés, on divise ou multiplie par des nombres afin d'obtenir une expression simple pour \( x \).

Remarque

Pour qu'une équation du premier degré ait une solution, il faut que \( a \neq 0 \). Si \( a = 0 \) et \( b \neq 0 \), l'équation n'a pas de solution. Si \( a = 0 \) et \( b = 0 \), l'équation a une infinité de solutions.

Exercice

Résoudre l'équation suivante :

\( 2x - 4 = 0 \)

Résolution

1. Isoler \( x \) : L'équation est \( 2x - 4 = 0 \). On commence par ajouter 4 des deux côtés de l'équation pour isoler le terme avec \( x \) :

\( 2x = 4 \)

2. Diviser par 2 : Maintenant, pour isoler \( x \), on divise les deux côtés de l'équation par 2 :

\( x = \frac{4}{2} \)

3. Résultat : La solution de l'équation est donc :

\( x = 2 \)

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Résoudre une équation produit nul, résoudre \(x^2 = a\)

Une équation produit nul est une équation dans laquelle un produit de plusieurs facteurs est égal à zéro. L'équation est généralement de la forme :

\( a \times b = 0 \), où \( a \) et \( b \) sont des expressions algébriques, et l'inconnue peut apparaître dans ces facteurs. Pour résoudre cette équation, il existe une règle simple : si un produit de plusieurs facteurs est nul, alors au moins l'un des facteurs doit être nul. Cela permet d'obtenir deux cas à résoudre séparément :

  • Si \( a = 0 \), alors \( a \times b = 0 \) est vrai quelle que soit la valeur de \( b \).
  • Si \( b = 0 \), alors \( a \times b = 0 \) est vrai quelle que soit la valeur de \( a \).

Cette règle s'applique à une multiplication de plusieurs facteurs, et peut également s'adapter à des équations plus complexes.

Une forme particulière d'équation produit nul est l'équation \(x^2 = a\), qui est une équation où le produit est un carré de l'inconnue \(x\). Voici comment résoudre cette équation :

  • Si \( a \) est positif, alors \( x^2 = a \) a deux solutions, car \( x = \pm \sqrt{a} \).
  • Si \( a = 0 \), alors \( x^2 = 0 \) a une seule solution, \( x = 0 \).
  • Si \( a \) est négatif, alors \( x^2 = a \) n'a pas de solution réelle, car le carré d'un nombre réel ne peut pas être négatif.

Exercice

Résoudre l'équation suivante :

\( x^2 = 16 \)

Résolution

1. Nous devons résoudre l'équation \( x^2 = 16 \).

2. Pour ce faire, nous extrayons la racine carrée des deux côtés de l'équation :

\( x = \pm \sqrt{16} \)

3. La racine carrée de 16 est 4, donc l'équation devient :

\( x = \pm 4 \)

4. Les solutions sont donc \( x = 4 \) et \( x = -4 \).

Conclusion : L'équation \( x^2 = 16 \) a deux solutions réelles, \( x = 4 \) et \( x = -4 \).

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Modéliser une situation en équation à résoudre

Dans cette section, nous allons apprendre à modéliser une situation réelle sous forme d'une équation. Cela consiste à traduire un problème concret en un énoncé mathématique, puis à résoudre cette équation pour trouver une solution.

Modélisation d'une situation

Modéliser une situation consiste à exprimer les relations entre les éléments du problème à l'aide d'une équation. Une fois l'équation formulée, on peut la résoudre pour déterminer la ou les solutions du problème.

Voici les étapes principales pour modéliser une situation :

  • Analyser le problème pour identifier les inconnues et les relations entre les données.
  • Choisir des symboles pour les inconnues et définir des équations qui décrivent la situation.
  • Résoudre l'équation obtenue pour trouver la valeur de l'inconnue.

Exemple :

Voici un exemple de modélisation d'une situation :

Énoncé du problème : Un commerçant vend des pommes au prix de 2 euros chacune. Il souhaite savoir combien de pommes il doit vendre pour obtenir 60 euros.

Modélisation : Soit x le nombre de pommes vendues. On peut modéliser la situation par l'équation suivante :

x \times 2 = 60

Il suffit maintenant de résoudre cette équation pour trouver la valeur de x.

Exercice

Un élève a 12 euros et veut acheter des cahiers au prix de 3 euros chacun. Combien de cahiers peut-il acheter ?

Résolution

Soit x le nombre de cahiers achetés. On peut modéliser la situation par l'équation suivante :

x \times 3 = 12

Pour résoudre cette équation, il suffit de diviser les deux membres par 3 :

x = \frac{12}{3} = 4

L'élève peut donc acheter 4 cahiers.

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Capacités attendues

  • Résoudre une équation du premier degré à une inconnue.
  • Utiliser les propriétés des équations pour isoler l'inconnue.
  • Appliquer la méthode de résolution des équations produits nuls.
  • Résoudre des équations sous la forme \( x^2 = a \) et en déterminer les solutions.
  • Modéliser une situation de la vie courante sous forme d'une équation à résoudre.
  • Interpréter une solution dans un contexte donné.