Calcul littéral

Réduire une expression littérale

Lorsqu'on parle de réduction d'une expression littérale, on entend le fait de simplifier cette expression en regroupant les termes similaires. Une expression littérale est une expression qui contient des lettres (appelées variables) et des nombres. Les termes similaires sont des termes qui possèdent la même lettre avec le même exposant.

Définition : Réduire une expression littérale

Réduire une expression littérale consiste à simplifier cette expression en additionnant ou en soustrayant les termes similaires.

Méthode pour réduire une expression littérale :

Identifier les termes similaires :
Les termes similaires sont des termes qui ont la même variable avec le même exposant. Par exemple, dans \( 3x + 5x \), les termes \( 3x \) et \( 5x \) sont similaires.
Additionner ou soustraire les termes similaires :
On additionne ou soustrait les coefficients des termes similaires. Par exemple, \( 3x + 5x = (3 + 5)x = 8x \).

Exemple :

Réduire l'expression \( 4x + 7 - 2x + 5 \).

Identifier les termes similaires :
- Les termes en \( x \) sont \( 4x \) et \( -2x \).
- Les termes constants sont \( 7 \) et \( 5 \).
Additionner ou soustraire les termes similaires :
- Pour les termes en \( x \) : \( 4x - 2x = 2x \).
- Pour les termes constants : \( 7 + 5 = 12 \).

L'expression réduite est donc \( 2x + 12 \).

Exercice

Réduire l'expression suivante : \( 3a + 5b - 2a + 4b \)

Résolution :

Identifier les termes similaires :
- Les termes en \( a \) sont \( 3a \) et \( -2a \).
- Les termes en \( b \) sont \( 5b \) et \( 4b \).
Additionner ou soustraire les termes similaires :
- Pour les termes en \( a \) : \( 3a - 2a = a \).
- Pour les termes en \( b \) : \( 5b + 4b = 9b \).

L'expression réduite est donc \( a + 9b \).

Développer un produit : simple et double distributivité, identités remarquables

Définition : Développer un produit

Développer un produit consiste à réécrire une expression littérale (qui est sous forme de produit) en une autre expression équivalente sous forme de sommes/différences.

Lorsque l'on doit développer un produit, il s'agit d'appliquer la distributivité. Cela peut se faire de manière simple ou avec plusieurs étapes, selon la structure du produit, à l'aide des méthodes suivantes :

La simple distributivité
La double distributivité
Les identités remarquables

Distributivité simple

La distributivité simple consiste à distribuer un facteur à chaque terme d'une somme ou différence. Par exemple, pour le produit \( a(b + c) \), on applique la distributivité pour obtenir : \[ a(b + c) = a \times b + a \times c \]

Distributivité double

La distributivité double intervient lorsque l'on distribue deux facteurs à une somme. Par exemple, dans l'expression \( (a + b)(c + d) \), on applique la distributivité sur chaque terme de chaque parenthèse pour obtenir : \[ (a + b)(c + d) = a \times c + a \times d + b \times c + b \times d \]

Identités remarquables

Les identités remarquables sont des formules qui permettent de développer des produits sans avoir à appliquer la distributivité étape par étape :

\( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \)
\( (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \)
\( (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 \)

Exemple :

Développons l'expression \( (x + 3)(x + 4) \) en utilisant la double distributivité :

\( \begin{align}(x + 3)(x + 4) &= x \times x + x \times 4 + 3 \times x + 3 \times 4 \\ &= x^2 + 4x + 3x + 12 \\ &= x^2 + 7x + 12 \end{align} \)

Exercice

Développer et réduire l'expression \( (x - 2)(x + 5) \).

Résolution

Nous appliquons la double distributivité :

\( \begin{align}(x - 2)(x + 5) &= x \times x + x \times 5 - 2 \times x - 2 \times 5 \\ &= x^2 + 5x - 2x - 10 \\ &= x^2 + 3x - 10 \end{align} \)

L'expression \( (x - 2)(x + 5) \) développée est donc \( x^2 + 3x - 10 \).

Factoriser une somme/différence : par un facteur commun, à l'aide des identités remarquables

Définition : Factoriser une somme/différence

Factoriser une somme/différence consiste à réécrire une expression littérale (qui est sous forme d'une somme/différence) en une autre expression équivalente sous forme de produits.

Lorsque l'on doit factoriser une somme/différence, il existe plusieurs méthodes, selon la structure de l'expression littérale :

Factorisation par un facteur commun
Factorisation par une identité remarquable

Factorisation par un facteur commun

Lorsqu'une expression comporte plusieurs termes, on peut souvent repérer un facteur qui est commun à tous les termes de l'expression. Ce facteur peut être une constante, une variable ou une combinaison de ces éléments.

Exemple :

Si l'on a l'expression \( 6x + 9 \), le facteur commun est 3 (\( 6x = 3 \times 2x \) et \( 9 = 3 \times 3 \)). On factorise donc par 3 en sortant ce facteur de l'expression :

\( \begin{align}6x + 9 &= \pmb{3} \times 2x + \pmb{3} \times 3 \\ &= \mathbf{3}(2x+3) \end{align} \)

Exercice

Factoriser l'expression suivante : \( 6x + 9 \)

Résolution

1. Identifier le facteur commun :

Les deux termes de l'expression, \( 6x \) et \( 9 \), ont un facteur commun : 3, car \( 6 = 3 \times 2 \) et \( 9 = 3 \times 3 \). Le facteur commun est donc 3.

2. Sortir le facteur commun :

On écrit l'expression en mettant le facteur commun 3 devant une parenthèse :
\( 6x + 9 = 3(2x + 3) \)

3. Vérifier la factorisation :

Pour vérifier que la factorisation est correcte, on développe l'expression \( 3(2x + 3) \) :
\( 3(2x + 3) = 3 \times 2x + 3 \times 3 = 6x + 9 \)

On retrouve bien l'expression initiale \( 6x + 9 \), ce qui prouve que la factorisation est correcte.

L'expression \( 6x + 9 \) factorisée est donc \( 3(2x + 3) \).

Factorisation par une identité remarquable

Les identités remarquables sont des formules qui permettent de factoriser certaines expressions particulières rapidement. Par exemple, la différence de carrés ou les carrés parfaits.

Identité de la différence de carrés : \( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \)

Exemple :

Si l'on a l'expression \( 4x^2 - 9 \), on peut la factoriser en

\( \begin{align}4x^2 - 9 &= (\pmb{2x})^2 - \pmb{3}^2 \\ &= (2x - 3)(2x + 3) \end{align} \)

Exercice

Factoriser l'expression suivante : \( 6x + 9 \)

Résolution

1. Identifier le facteur commun :

Les deux termes de l'expression, \( 6x \) et \( 9 \), ont un facteur commun : 3, car \( 6 = 3 \times 2 \) et \( 9 = 3 \times 3 \). Le facteur commun est donc 3.

2. Sortir le facteur commun :

On écrit l'expression en mettant le facteur commun 3 devant une parenthèse :
\( 6x + 9 = 3(2x + 3) \)

3. Vérifier la factorisation :

Pour vérifier que la factorisation est correcte, on développe l'expression \( 3(2x + 3) \) :
\( 3(2x + 3) = 3 \times 2x + 3 \times 3 = 6x + 9 \)

On retrouve bien l'expression initiale \( 6x + 9 \), ce qui prouve que la factorisation est correcte.

L'expression \( 6x + 9 \) factorisée est donc \( 3(2x + 3) \).

Capacités attendues

Réduire une expression littérale en combinant des termes similaires.
Appliquer la distributivité pour développer des expressions littérales.
Utiliser les identités remarquables pour développer des expressions littérales.
Factoriser une somme ou une différence en mettant en évidence un facteur commun.
Factoriser une somme ou une différence à l'aide des identités remarquables.

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