Vecteurs

Notion de vecteur, vecteurs égaux, vecteurs opposés

Un vecteur est un objet mathématique qui représente une direction et une longueur dans un espace. Il est caractérisé par trois éléments fondamentaux : sa direction, son sens, et sa norme. Un vecteur est défini indépendamment de son point d'origine, il est uniquement défini par ces trois propriétés.

Vecteurs égaux

Deux vecteurs sont dits égaux lorsqu'ils partagent la même direction, le même sens et la même norme, quelle que soit leur position dans l'espace. En d'autres termes, les vecteurs peuvent être déplacés dans l'espace sans changer leurs propriétés. Par exemple, un vecteur \(\overrightarrow{AB}\) et un vecteur \(\overrightarrow{CD}\) sont égaux si et seulement si la ligne droite qui les contient a la même orientation et la même longueur.

Vecteurs opposés

Deux vecteurs sont dits opposés s'ils ont la même direction et la même norme, mais des sens opposés. Cela signifie que les deux vecteurs sont sur la même ligne droite, mais que leurs orientations sont inversées. Les vecteurs opposés sont des vecteurs égaux en termes de direction et de norme, mais leur sens est inversé.

Exercice

On considère deux vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\). Déterminez si ces vecteurs sont égaux ou opposés.

Résolution

1. Vérification de l'égalité des vecteurs :

Pour que les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\) soient égaux, il faut qu'ils aient la même direction, le même sens et la même norme.
Cela signifie que les deux vecteurs doivent suivre la même ligne droite et être orientés de la même manière.
Si les deux vecteurs ont la même direction et sont orientés de manière identique (même sens et même norme), alors \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\) sont égaux.

2. Vérification des vecteurs opposés :

Si les vecteurs ont la même direction et la même norme, mais des sens opposés, ils sont dits opposés.
Cela signifie que l'orientation de la flèche du vecteur \(\overrightarrow{AB}\) est inversée par rapport à \(\overrightarrow{CD}\), tout en restant sur la même ligne droite.

Conclusion : Après vérification, \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\) sont soit égaux (si direction, sens et norme sont identiques), soit opposés (si direction et norme sont identiques, mais les sens sont inversés).

Opérations sur les vecteurs : somme de vecteurs, relation de Chasles, produit par un scalaire

La somme de deux vecteurs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) est réalisée en ajoutant les déplacements correspondant à chaque vecteur. Graphiquement, cela consiste à placer le vecteur \(\overrightarrow{v}\) à l'extrémité de \(\overrightarrow{u}\), et la somme est le vecteur reliant le point de départ de \(\overrightarrow{u}\) à l'extrémité de \(\overrightarrow{v}\).

Propriétés de la somme de vecteurs

Commutativité : \(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} = \overrightarrow{v} + \overrightarrow{u}\)
Associativité : \((\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}) + \overrightarrow{w} = \overrightarrow{u} + (\overrightarrow{v} + \overrightarrow{w})\)

La relation de Chasles permet de décomposer un vecteur en la somme de deux autres. Si \(A\), \(B\) et \(C\) sont trois points, alors le vecteur \(\overrightarrow{AC}\) peut être écrit comme :

Relation de Chasles

\(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}\)

Le produit d'un vecteur \(\overrightarrow{v}\) par un scalaire \(\lambda\) consiste à modifier la longueur du vecteur tout en conservant ou inversant sa direction. Si \(\lambda > 0\), la direction de \(\overrightarrow{v}\) est conservée. Si \(\lambda < 0\), la direction de \(\overrightarrow{v}\) est inversée. Si \(\lambda = 0\), le vecteur résultant est le vecteur nul.

Propriétés du produit par un scalaire

Si \(\lambda = 0\), alors : \(\lambda \times \overrightarrow{v} = \overrightarrow{0}\)
Si \(\lambda = 1\), alors : \(\lambda \times \overrightarrow{v} = \overrightarrow{v}\)
Distributivité par rapport à l'addition de vecteurs : \(\lambda \times (\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}) = \lambda \times \overrightarrow{u} + \lambda \times \overrightarrow{v}\)

Exercice

Soient les vecteurs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) définis comme suit :

\(\overrightarrow{u}\) est un vecteur de norme 5 et dans une direction donnée.
\(\overrightarrow{v}\) est un vecteur de norme 3 et dans une direction différente de \(\overrightarrow{u}\).

Calculez :

\(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}\) (décrivez le déplacement résultant),
\(2 \times \overrightarrow{u}\) (décrivez l'agrandissement du vecteur \(\overrightarrow{u}\)).

Résolution

1. Calcul de \(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}\) : Pour additionner \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\), on place \(\overrightarrow{v}\) à l'extrémité de \(\overrightarrow{u}\). Le vecteur résultant est le vecteur allant du point de départ de \(\overrightarrow{u}\) au point d'arrivée de \(\overrightarrow{v}\). Cette somme correspond à un déplacement successif de \(\overrightarrow{u}\) puis de \(\overrightarrow{v}\).

2. Calcul de \(2 \times \overrightarrow{u}\) : Le produit \(2 \times \overrightarrow{u}\) signifie que la longueur de \(\overrightarrow{u}\) est doublée tout en maintenant la même direction. Le vecteur résultant est donc deux fois plus long que \(\overrightarrow{u}\), mais pointe dans la même direction.

Coordonnées d'un vecteur

Lorsqu'un vecteur est représenté dans un repère, il est possible de lui associer des coordonnées qui permettent de le définir de manière unique. Ces coordonnées correspondent aux projections du vecteur sur les axes du repère.

Définition : Coordonnées d'un vecteur

Les coordonnées d'un vecteur \(\overrightarrow{AB}\) dans un repère sont les valeurs des projections de ce vecteur sur les axes du repère. Elles permettent de le définir complètement sans avoir besoin de spécifier son origine ou son extrémité.

Exemple :

Soit le vecteur \(\overrightarrow{AB}\) défini par les points \(A(1, 2)\) et \(B(4, 6)\). Les coordonnées du vecteur \(\overrightarrow{AB}\) sont obtenues en soustrayant les coordonnées du point \(A\) de celles du point \(B\).

Les coordonnées du vecteur \(\overrightarrow{AB}\) sont donc :

Coordonnée en \(x\) : \(4 - 1 = 3\)
Coordonnée en \(y\) : \(6 - 2 = 4\)

Le vecteur \(\overrightarrow{AB}\) possède donc pour coordonnées \((3, 4)\).

Exercice

Soit le vecteur \(\overrightarrow{CD}\) défini par les points \(C(-2, 1)\) et \(D(3, 5)\). Déterminez les coordonnées du vecteur \(\overrightarrow{CD}\).

Résolution

Les coordonnées du vecteur \(\overrightarrow{CD}\) sont obtenues en soustrayant les coordonnées du point \(C\) de celles du point \(D\) :

Coordonnée en \(x\) : \(3 - (-2) = 3 + 2 = 5\)
Coordonnée en \(y\) : \(5 - 1 = 4\)

Les coordonnées du vecteur \(\overrightarrow{CD}\) sont donc \((5, 4)\).

Coordonnées d'un vecteur et opération sur les vecteurs, calcul de la norme d'un vecteur via ses coordonnées

Dans cette section, nous allons aborder la notion de norme d'un vecteur et la manière de la calculer à partir de ses coordonnées.

La norme d'un vecteur est une mesure de sa "longueur" ou de sa "grandeur". Si un vecteur \(\overrightarrow{u}\) est représenté par ses coordonnées \((x_1, y_1)\) dans un plan, sa norme se note \(\left\|\overrightarrow{u}\right\|\) et se calcule selon la formule suivante :

\[ \left\|\overrightarrow{u}\right\| = \sqrt{x_1^2 + y_1^2} \]

Cette formule est directement issue du théorème de Pythagore, car la norme d'un vecteur dans le plan représente l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont les côtés sont les coordonnées du vecteur.

Dans le cas d'un vecteur \(\overrightarrow{v}\) dans l'espace, avec des coordonnées \((x_1, y_1, z_1)\), la norme se calcule de manière similaire :

\[ \left\|\overrightarrow{v}\right\| = \sqrt{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2} \]

Exercice

Soit le vecteur \(\overrightarrow{u} = (3, 4)\), calculer sa norme.

Résolution

1. Le vecteur \(\overrightarrow{u}\) a pour coordonnées \((3, 4)\).

2. Appliquons la formule de la norme dans le plan :

\[ \left\|\overrightarrow{u}\right\| = \sqrt{3^2 + 4^2} \]

3. Calculons les carrés des coordonnées :

\[ \left\|\overrightarrow{u}\right\| = \sqrt{9 + 16} \]

\[ \left\|\overrightarrow{u}\right\| = \sqrt{25} \]

4. Enfin, prenons la racine carrée de 25 :

\[ \left\|\overrightarrow{u}\right\| = 5 \]

Conclusion : La norme du vecteur \(\overrightarrow{u}\) est égale à 5.

Capacités attendues

Comprendre la notion de vecteur et ses propriétés.
Identifier et appliquer la règle de la somme de vecteurs.
Utiliser la relation de Chasles pour résoudre des problèmes géométriques.
Calculer la norme d'un vecteur à partir de ses coordonnées.
Effectuer le produit d'un vecteur par un scalaire.
Appliquer les propriétés des vecteurs dans des contextes géométriques et physiques simples.

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