Variations de fonctions

Parité d'une fonction, représentation graphique

La parité d'une fonction est une notion fondamentale qui permet de déterminer la symétrie d'une fonction par rapport à l'axe des ordonnées (symétrie paire) ou par rapport à l'origine du repère (symétrie impaire).

Fonction paire

Une fonction \( f \) est dite paire si, pour tout \( x \) dans son domaine, \( f(-x) = f(x) \). Cela signifie que le graphique de la fonction est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

Fonction impaire

Une fonction \( f \) est dite impaire si, pour tout \( x \) dans son domaine, \( f(-x) = -f(x) \). Cela signifie que le graphique de la fonction est symétrique par rapport à l'origine.

Pour déterminer la parité d'une fonction, il est utile de tracer son graphique. Voici quelques étapes à suivre :

Tracer l'axe des abscisses (axe \( x \)) et l'axe des ordonnées (axe \( y \)).
Calculer quelques valeurs de la fonction pour des valeurs positives et négatives de \( x \).
Tracer les points correspondants sur le graphique.
Vérifier la symétrie :
- Pour une fonction paire, les points \( (x, f(x)) \) et \( (-x, f(x)) \) doivent être symétriques par rapport à l'axe \( y \).
- Pour une fonction impaire, les points \( (x, f(x)) \) et \( (-x, -f(x)) \) doivent être symétriques par rapport à l'origine.

Exercice

Déterminer la parité de la fonction suivante et représenter son graphique : \( f(x) = 2x^2 - 3 \)

Résolution

1. Détermination de la parité :

Calculons \( f(-x) \) :

\( f(-x) = 2(-x)^2 - 3 = 2x^2 - 3 \)

On constate que \( f(-x) = f(x) \) pour tout \( x \) dans le domaine. Ainsi, la fonction \( f \) est paire.

2. Représentation graphique :

Calculons quelques valeurs pour \( x \) :

Pour \( x = -2 \) :

\( f(-2) = 2(-2)^2 - 3 = 8 - 3 = 5 \)

Pour \( x = -1 \) :

\( f(-1) = 2(-1)^2 - 3 = 2 - 3 = -1 \)

Pour \( x = 0 \) :

\( f(0) = 2(0)^2 - 3 = -3 \)

Pour \( x = 1 \) :

\( f(1) = 2(1)^2 - 3 = 2 - 3 = -1 \)

Pour \( x = 2 \) :

\( f(2) = 2(2)^2 - 3 = 8 - 3 = 5 \)

Les valeurs calculées sont :

\( f(-2) = 5 \)
\( f(-1) = -1 \)
\( f(0) = -3 \)
\( f(1) = -1 \)
\( f(2) = 5 \)

On peut maintenant tracer le graphique avec les points suivants :

\( (-2, 5) \)
\( (-1, -1) \)
\( (0, -3) \)
\( (1, -1) \)
\( (2, 5) \)

Le graphique de la fonction \( f(x) = 2x^2 - 3 \) sera symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, confirmant ainsi que la fonction est bien paire.

Variations de Fonctions et Extrêmes

La variation d'une fonction est un concept essentiel en mathématiques qui permet de décrire comment les valeurs d'une fonction changent lorsque l'on modifie l'argument de cette fonction. Dans ce contexte, nous allons examiner les variations de fonctions et identifier les points extrêmes.

Fonction croissante

Une fonction \( f \) est croissante sur un intervalle \( I \) si, pour tous \( x_1, x_2 \in I \) avec \( x_1 < x_2 \), on a \( f(x_1) \leq f(x_2) \).

Fonction décroissante

Une fonction \( f \) est décroissante sur un intervalle \( I \) si, pour tous \( x_1, x_2 \in I \) avec \( x_1 < x_2 \), on a \( f(x_1) \geq f(x_2) \).

Fonction constante

Une fonction \( f \) est constante sur un intervalle \( I \) si, pour tous \( x_1, x_2 \in I \) avec \( x_1 < x_2 \), on a \( f(x_1) = f(x_2) \).

Maximum local

Un point \( x_0 \) est un maximum local de \( f \) si \( f(x_0) \geq f(x) \) pour tout \( x \) voisin de \( x_0 \).

Minimum local

Un point \( x_0 \) est un minimum local de \( f \) si \( f(x_0) \leq f(x) \) pour tout \( x \) voisin de \( x_0 \).

Exercice

Étudier les variations de la fonction \( f(x) = -x^2 + 4x - 3 \) sur l'intervalle \( [0, 4] \) et déterminer les points extrêmes.

Résolution

Pour étudier les variations de la fonction \( f(x) = -x^2 + 4x - 3 \), nous allons suivre les étapes suivantes :

Calculer la dérivée de \( f \) :

\( f'(x) = -2x + 4 \)
Déterminer les points critiques en résolvant \( f'(x) = 0 \) :

\( -2x + 4 = 0 \implies x = 2 \)
Étudier le signe de \( f' \) sur les intervalles \( [0, 2] \) et \( [2, 4] \) :
- Pour \( x \in [0, 2] \) : \( f'(x) \) est positif (par exemple, pour \( x = 1 \), \( f'(1) = 2 > 0 \)).
- Pour \( x \in [2, 4] \) : \( f'(x) \) est négatif (par exemple, pour \( x = 3 \), \( f'(3) = -2 < 0 \)).
Dresser le tableau de variations :

La fonction \( f \) est croissante sur \( [0, 2] \) et décroissante sur \( [2, 4] \).
Calculer les valeurs de \( f \) aux points critiques et aux extrémités de l'intervalle :
- \( f(0) = -0^2 + 4 \times 0 - 3 = -3 \)
- \( f(2) = -2^2 + 4 \times 2 - 3 = 1 \)
- \( f(4) = -4^2 + 4 \times 4 - 3 = -3 \)
Conclusion : La fonction \( f \) atteint un maximum local en \( x = 2 \) avec \( f(2) = 1 \), et les valeurs minimales aux extrémités \( f(0) = f(4) = -3 \).

Capacités attendues

Identifier si une fonction est paire ou impaire.
Interpréter la représentation graphique d'une fonction.
Déterminer les variations d'une fonction sur un intervalle donné.
Identifier les points d'extremum d'une fonction.
Utiliser des tableaux de variations pour résumer les comportements d'une fonction.
Appliquer les notions de parité et d'extremums dans des problèmes pratiques.

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