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Probabilités

Vocabulaire

Expérience aléatoire

Une expérience dont le résultat ne peut pas être prédit avec certitude mais qui peut être décrit formellement. Exemple : lancer un dé, tirer une carte.

Issue

Un résultat possible d’une expérience aléatoire. Exemple : pour le lancement d'un dé, les issues sont \( 1, 2, 3, 4, 5, 6 \).

Univers

L'ensemble de toutes les issues possibles d’une expérience aléatoire. Exemple : \( U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \) pour le lancement d’un dé.

Événement

Un sous-ensemble de l'univers, constitué de certaines issues de l’expérience aléatoire. Exemple : l’événement d’obtenir un nombre pair \( E = \{2, 4, 6\} \).

Événement contraire

L'événement contraire d'un événement \( E \) correspond à l'ensemble des issues qui ne sont pas dans \( E \). Exemple : si \( E = \{2, 4, 6\} \), alors \( \overline{E} = \{1, 3, 5\} \).

Exercice

On lance un dé à six faces. On considère l’événement \( E \) suivant : « obtenir un nombre supérieur à 4 ». Déterminez l’événement contraire de \( E \), puis vérifiez si la somme des probabilités de \( E \) et de son événement contraire est égale à 1.

Résolution

1. Détermination de l'événement \( E \)
L’événement \( E \) correspond à l’ensemble des issues où le nombre obtenu est supérieur à 4. Les issues possibles sont donc \( E = \{5, 6\} \).

2. Détermination de l'événement contraire \( \overline{E} \)
L'événement contraire de \( E \) correspond aux issues de l’univers qui ne sont pas dans \( E \). L'univers étant \( U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \), l'événement contraire \( \overline{E} \) est constitué des issues \( \overline{E} = \{1, 2, 3, 4\} \).

3. Vérification que la somme des probabilités de \( E \) et de son événement contraire est égale à 1
Nous supposons que le dé est équilibré, c’est-à-dire que chaque issue a une probabilité égale de survenir. Puisque l’univers \( U \) contient 6 issues, la probabilité de chaque issue est \( \frac{1}{6} \).
La probabilité de \( E \), qui correspond à l’obtention de 5 ou 6, est :
\( P(E) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \)
La probabilité de \( \overline{E} \), qui correspond à l’obtention de 1, 2, 3 ou 4, est :
\( P(\overline{E}) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \)
La somme des probabilités est donc :
\( P(E) + P(\overline{E}) = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = 1 \)

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Probabilité, équiprobabilité, intersection et réunion d'événements

Dans cette partie, nous allons aborder les notions de probabilité, d'équiprobabilité, ainsi que les concepts d'intersection et de réunion d'événements.

Probabilité

La probabilité d'un événement est un nombre réel compris entre 0 et 1 qui mesure la vraisemblance qu'un événement se produise lors d'une expérience aléatoire.

Équiprobabilité

Un ensemble d'événements est dit équiprobable si tous les événements ont la même probabilité d'occurrence.

Intersection d'événements

L'intersection de deux événements A et B, notée \( A \cap B \), est l'ensemble des issues communes aux deux événements. L'événement \( A \cap B \) se produit si et seulement si les deux événements A et B se produisent simultanément.

Réunion d'événements

La réunion de deux événements A et B, notée \( A \cup B \), est l'ensemble des issues où l'un ou l'autre des événements A ou B se produit (ou les deux). L'événement \( A \cup B \) se produit si A ou B (ou les deux) se produisent.

Probabilité de la réunion d'événements

La probabilité de la réunion de deux événements A et B est donnée par la formule suivante : \[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \] Cette formule tient compte du fait que si A et B se produisent simultanément, leur intersection a été comptée deux fois.

Exercice

Soit une urne contenant 3 boules rouges et 2 boules bleues. On tire une boule au hasard. Calculer la probabilité de l'événement "tirer une boule rouge" et la probabilité de l'événement "tirer une boule rouge ou une boule bleue".

Résolution

Il y a un total de 5 boules dans l'urne (3 boules rouges et 2 boules bleues). Chaque boule a donc une probabilité de \( \frac{1}{5} \) d'être tirée.

La probabilité de tirer une boule rouge est : \[ P(\text{rouge}) = \frac{3}{5} \]

La probabilité de tirer une boule rouge ou une boule bleue est la probabilité de la réunion des événements "tirer une boule rouge" et "tirer une boule bleue". Les événements sont mutuellement exclusifs (ils ne peuvent pas se produire simultanément), donc : \[ P(\text{rouge ou bleue}) = P(\text{rouge}) + P(\text{bleue}) = \frac{3}{5} + \frac{2}{5} = 1 \]

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Dénombrement: tableau à double entrées, arbre de probabilité

Le dénombrement est une méthode qui permet de compter le nombre de façons dont certains événements peuvent se produire dans un espace de probabilité. Cela est particulièrement utile pour déterminer la probabilité d'événements complexes en utilisant des outils visuels tels que les tableaux à double entrée et les arbres de probabilité.

Tableau à double entrée

Un tableau à double entrée permet de répertorier les différentes possibilités d'événements issus de deux phénomènes ou plus, en croisant leurs résultats respectifs. Il aide à visualiser toutes les combinaisons possibles.

Exemple :

Supposons que nous ayons un jeu avec deux tirages successifs. Lors du premier tirage, nous pouvons obtenir une boule rouge (R) ou une boule bleue (B). Lors du deuxième tirage, nous avons les mêmes possibilités. Nous pouvons représenter cela à l'aide d'un tableau à double entrée :

Premier tirage / \ R (3/5) B (2/5)
R (3/5) R (2/4) B (2/4)
B (2/5) R (3/4) B (1/4)

Explication :

  • Au premier tirage, la probabilité de tirer une boule rouge est \( \frac{3}{5} \) et la probabilité de tirer une boule bleue est \( \frac{2}{5} \).
  • Si une boule rouge a été tirée, au deuxième tirage, la probabilité de tirer une boule rouge est \( \frac{2}{4} \) et la probabilité de tirer une boule bleue est \( \frac{2}{4} \).
  • Si une boule bleue a été tirée au premier tirage, au deuxième tirage, la probabilité de tirer une boule rouge est \( \frac{3}{4} \) et la probabilité de tirer une boule bleue est \( \frac{1}{4} \).

Les résultats possibles sont : (R, R), (R, B), (B, R), (B, B).

Arbre de probabilité

Un arbre de probabilité est un diagramme qui permet de visualiser les différents événements possibles dans un phénomène. Il est constitué de branches représentant les différentes options possibles, avec des probabilités associées à chaque branche. Chaque branche conduit à un événement avec une probabilité spécifique.

Exemple :

Supposons de nouveau deux tirages successifs dans un jeu où l'on peut tirer une boule rouge (R) ou une boule bleue (B). Nous pouvons représenter ces événements dans un arbre de probabilité :

        Premier tirage
           / \
          R   B
         / \ / \
        R   B R   B

Dans cet arbre de probabilité, chaque branche du premier tirage a une probabilité associée, par exemple \( \frac{3}{5} \) pour tirer une boule rouge et \( \frac{2}{5} \) pour tirer une boule bleue. De même, chaque branche du deuxième tirage a des probabilités associées qui dépendent du tirage précédent.

Exercice

Un sac contient 3 boules rouges (R) et 2 boules bleues (B). On tire successivement deux boules sans remise. Compléter l'arbre de probabilité et calculer les probabilités des événements suivants :

  • Obtenir deux boules rouges.
  • Obtenir une boule rouge et une boule bleue (dans n'importe quel ordre).

Résolution

Au premier tirage, la probabilité de tirer une boule rouge est \( \frac{3}{5} \) et la probabilité de tirer une boule bleue est \( \frac{2}{5} \).

Si une boule rouge est tirée au premier tirage, la probabilité de tirer une autre boule rouge au deuxième tirage est \( \frac{2}{4} \) (car il reste 2 boules rouges sur 4 boules au total). La probabilité d'obtenir deux boules rouges est donc :

\[ P(\text{R, R}) = \frac{3}{5} \times \frac{2}{4} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10} \]

Si une boule bleue est tirée au premier tirage, la probabilité de tirer une boule rouge au deuxième tirage est \( \frac{3}{4} \) (car il reste 3 boules rouges sur 4 boules au total). La probabilité d'obtenir une boule rouge et une boule bleue dans cet ordre est donc :

\[ P(\text{R, B}) = \frac{3}{5} \times \frac{2}{4} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10} \]

De même, si une boule bleue est tirée au premier tirage, la probabilité de tirer une boule rouge au deuxième tirage est également \( \frac{3}{4} \), et la probabilité d'obtenir une boule bleue et une boule rouge dans cet ordre est :

\[ P(\text{B, R}) = \frac{2}{5} \times \frac{3}{4} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10} \]

La probabilité d'obtenir une boule rouge et une boule bleue (dans n'importe quel ordre) est donc :

\[ P(\text{R, B ou B, R}) = \frac{3}{10} + \frac{3}{10} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} \]

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Capacités attendues

  • Comprendre et utiliser le vocabulaire des probabilités : expérience aléatoire, issue, univers, événement, événement contraire.
  • Calculer la probabilité d'un événement dans le cadre d'une situation donnée.
  • Appliquer la notion d'équiprobabilité à différents types d'expériences aléatoires.
  • Utiliser les règles de calcul des probabilités d'intersection et de réunion d'événements.
  • Construire et interpréter des arbres de probabilité pour modéliser des événements complexes.
  • Utiliser des tableaux à double entrée pour résoudre des problèmes de dénombrement.
  • Calculer des probabilités à l'aide de dénombrements dans des situations variées.