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Nombres et intervalles

Ensembles de Nombres

Les ensembles de nombres sont utilisés pour classer les différents types de nombres en fonction de leurs propriétés spécifiques. Les ensembles étudiés en classe de 2e générale incluent les entiers naturels, les entiers relatifs, les nombres décimaux, les nombres rationnels, et les nombres réels.

Ensemble des Entiers Naturels

L'ensemble des entiers naturels, noté \( \mathbb{N} \), regroupe les nombres entiers positifs : \( 0, 1, 2, 3, \ldots \).

Ensemble des Entiers Relatifs

L'ensemble des entiers relatifs, noté \( \mathbb{Z} \), comprend tous les entiers positifs et négatifs, ainsi que zéro : \( \ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots \).

Ensemble des Nombres Décimaux

L'ensemble des nombres décimaux, noté \( \mathbb{D} \), regroupe les nombres qui peuvent être écrits avec un nombre fini de chiffres après la virgule, tels que \( 3,5 \), \( -2,75 \), et \( 0,8 \).

Ensemble des Nombres Rationnels

L'ensemble des nombres rationnels, noté \( \mathbb{Q} \), comprend tous les nombres pouvant s'écrire sous la forme d'une fraction où le numérateur et le dénominateur sont des entiers, avec un dénominateur non nul. Exemples : \( -\frac{2}{3} \), \( 4 \), \( 0,75 = \frac{3}{4} \).

Ensemble des Nombres Réels

L'ensemble des nombres réels, noté \( \mathbb{R} \), regroupe tous les nombres, incluant les rationnels et les irrationnels (comme \( \sqrt{2} \) et \( \pi \)).

Les ensembles sont organisés de manière imbriquée : \( \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \).

Exercice

Classer les nombres suivants dans les ensembles appropriés parmi \( \mathbb{N} \), \( \mathbb{Z} \), \( \mathbb{D} \), \( \mathbb{Q} \), et \( \mathbb{R} \) :

  • \( a = -3 \)
  • \( b = \frac{4}{5} \)
  • \( c = 0 \)
  • \( d = \sqrt{2} \)
  • \( e = -7,5 \)

Résolution

  • \( a = -3 \) : \( a \) est un entier relatif (\( \mathbb{Z} \)), donc appartient aussi à \( \mathbb{Q} \) et \( \mathbb{R} \).
  • \( b = \frac{4}{5} \) : \( b \) est un rationnel (\( \mathbb{Q} \)) et appartient donc également à \( \mathbb{R} \).
  • \( c = 0 \) : \( c \) est un entier naturel (\( \mathbb{N} \)), et aussi membre des ensembles \( \mathbb{Z} \), \( \mathbb{D} \), \( \mathbb{Q} \), et \( \mathbb{R} \).
  • \( d = \sqrt{2} \) : \( d \) est un nombre irrationnel et appartient seulement à \( \mathbb{R} \).
  • \( e = -7,5 \) : \( e \) est un nombre décimal (\( \mathbb{D} \)), donc appartient également à \( \mathbb{Q} \) et \( \mathbb{R} \).

Exemple :

Nombre \( \mathbb{N} \) \( \mathbb{Z} \) \( \mathbb{D} \) \( \mathbb{Q} \) \( \mathbb{R} \)
\( a = -3 \) Non Oui Non Oui Oui
\( b = \frac{4}{5} \) Non Non Non Oui Oui
\( c = 0 \) Oui Oui Oui Oui Oui
\( d = \sqrt{2} \) Non Non Non Non Oui
\( e = -7,5 \) Non Non Oui Oui Oui
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Intervalles : définition, intersection/union, lien avec la valeur absolue

Les intervalles représentent des ensembles de nombres réels compris entre deux bornes. Selon la nature des bornes et leur inclusion ou non, on distingue différents types d'intervalles.

Définition : Types d'intervalles

Type d'intervalle Notation Expression en LaTeX
Intervalle ouvert (a, b) \((a, b) = \{ x \in \mathbb{R} \mid a < x < b \}\)
Intervalle fermé [a, b] \([a, b] = \{ x \in \mathbb{R} \mid a \leq x \leq b \}\)
Intervalle semi-ouvert à gauche [a, b) \([a, b) = \{ x \in \mathbb{R} \mid a \leq x < b \}\)
Intervalle semi-ouvert à droite (a, b] \((a, b] = \{ x \in \mathbb{R} \mid a < x \leq b \}\)

Les opérations sur les intervalles permettent de combiner ou de limiter les ensembles de nombres. Les deux opérations principales sont l'union et l'intersection.

Propriété : Union et intersection d'intervalles

L'union de deux intervalles contient tous les éléments des deux intervalles combinés. L'intersection de deux intervalles contient uniquement les éléments communs aux deux intervalles.

Exemple :

Soient \( A = [1, 4] \) et \( B = (3, 6] \).

  • L'union : \( A \cup B = [1, 6] \)
  • L'intersection : \( A \cap B = (3, 4] \)

Définition : Valeur absolue et intervalles

La valeur absolue d’un nombre réel \( x \) est sa distance à zéro, notée \( |x| \).

  • \(|x| = x\) si \(x \geq 0\)
  • \(|x| = -x\) si \(x < 0\)

Exercice

Déterminer l'intervalle de valeurs de \( x \) tel que \( |x - 2| \leq 3 \).

Résolution

Pour résoudre cette inéquation, on utilise la définition de la valeur absolue :

\[ |x - 2| \leq 3 \iff -3 \leq x - 2 \leq 3 \]

On résout alors chacune des inéquations :

  1. \(-3 \leq x - 2 \Rightarrow x \geq -1\)
  2. \(x - 2 \leq 3 \Rightarrow x \leq 5\)

On en déduit l'intervalle solution :

\[ x \in [-1, 5] \]

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Capacités attendues

  • Identifier et décrire les différents ensembles de nombres (N, Z, D, Q, R).
  • Expliquer les propriétés fondamentales de chaque ensemble de nombres.
  • Comprendre et utiliser les notions d'intervalles en mathématiques.
  • Effectuer des opérations d'intersection et d'union sur des intervalles.
  • Relier les intervalles à la valeur absolue et comprendre leur signification.
  • Appliquer les concepts d'ensembles et d'intervalles à des problèmes concrets.
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