Matez les Maths

Informations chiffrées

Proportion, pourcentage, pourcentage de pourcentage

Une proportion est une relation qui exprime la comparaison entre une partie et le tout, souvent écrite sous forme de fraction ou de ratio.

Le pourcentage permet d’exprimer une proportion en termes de centièmes, c’est-à-dire en termes de fraction sur 100. Pour convertir une proportion en pourcentage, on multiplie la proportion par 100.

Définition : Proportion

Une proportion est une fraction qui représente la comparaison entre une partie et un tout. Elle est souvent écrite sous forme de fraction ou de ratio.

Définition : Pourcentage

Le pourcentage est une manière d’exprimer une proportion en termes de centièmes, soit une fraction sur 100. Pour obtenir le pourcentage d’une proportion, on multiplie cette proportion par 100.

Exemple :

Dans une classe de 30 élèves, si 12 sont des filles, la proportion de filles dans la classe est \( \frac{12}{30} \), ce qui représente 40 % des élèves.

Définition : Pourcentage de pourcentage

Le pourcentage de pourcentage s’applique lorsque l’on calcule un pourcentage d’un sous-ensemble d’une population, puis un autre pourcentage sur un sous-ensemble de ce sous-ensemble. Cela revient à calculer successivement des pourcentages qui se réfèrent à des sous-populations successives.

Exemple :

Imaginons une entreprise avec 200 employés, dont 30 % sont des managers. Parmi ces managers, 10 % bénéficient d’une prime. Pour calculer le pourcentage d’employés qui sont à la fois managers et bénéficient de la prime, on procède comme suit :

  1. Le nombre de managers dans l’entreprise est \( 200 \times 30 \% = 60 \) managers.
  2. Parmi les 60 managers, 10 % bénéficient de la prime : \( 60 \times 10 \% = 6 \) managers avec prime.
  3. Le pourcentage d’employés concernés est \( \frac{6}{200} \times 100 = 3 \% \) des employés.

Exercice

Dans une école, 60 % des élèves ont un ordinateur portable. Parmi ces élèves, 20 % utilisent régulièrement l'ordinateur pour leurs devoirs. Quel pourcentage d'élèves utilise régulièrement un ordinateur pour leurs devoirs ?

Résolution

  1. Le nombre d’élèves possédant un ordinateur est de \( 500 \times 60 \% = 300 \) élèves avec un ordinateur portable.
  2. Parmi les 300 élèves ayant un ordinateur, 20 % utilisent cet ordinateur pour leurs devoirs : \( 300 \times 20 \% = 60 \) élèves utilisant l’ordinateur pour leurs devoirs.
  3. Le pourcentage d’élèves utilisant un ordinateur pour leurs devoirs parmi l’ensemble des 500 élèves est \( \frac{60}{500} \times 100 = 12 \% \).

Réponse : 12 % des élèves utilisent régulièrement un ordinateur pour leurs devoirs.

1

Variation absolue et variation relative

Lorsqu'on analyse une situation où une quantité évolue, on peut mesurer cette évolution de différentes manières. Deux notions courantes sont la variation absolue et la variation relative. Ces concepts sont très utiles pour comprendre comment une valeur a changé par rapport à une autre, et sont souvent utilisés dans le cadre de comparaisons de données.

Variation absolue

La variation absolue d'une quantité \( x \) entre une valeur initiale \( V_I \) et une valeur finale \( V_F \) est simplement la différence entre ces deux valeurs, c'est-à-dire :
\( \Delta x = V_F - V_I \)
La variation absolue donne une mesure de l'ampleur du changement, sans tenir compte du signe du changement (augmentation ou diminution).

Exemple :

Si la température passe de 20°C à 25°C, la variation absolue est :
\( \Delta T = 25 - 20 = 5 \, \text{°C} \)
Cela signifie que la température a augmenté de 5°C.

Variation relative

La variation relative mesure la variation par rapport à la valeur initiale. Elle est obtenue en calculant le rapport entre la variation absolue et la valeur initiale, puis en multipliant par 100 pour l'exprimer en pourcentage :
\( \text{Variation relative} = \frac{\Delta x}{V_I} \times 100 = \frac{V_F - V_I}{V_I} \times 100 \)
La variation relative permet de comparer des changements de valeurs de différentes échelles, car elle met en relation le changement avec la valeur de départ.

Exemple :

Si la température passe de 20°C à 25°C, la variation relative est :
\( \text{Variation relative} = \frac{25 - 20}{20} \times 100 = \frac{5}{20} \times 100 = 25\% \)
Cela signifie que la température a augmenté de 25 %.

Récapitulatif

Voici un tableau récapitulatif des deux notions :

Notion Formule Interprétation
Variation absolue \( \Delta x = V_F - V_I \) Différence entre les deux valeurs.
Variation relative \( \frac{\Delta x}{V_I} \times 100 \) Changement exprimé en pourcentage par rapport à la valeur initiale.

Exercice

Un objet a une masse initiale de 80 kg. Après une période de croissance, sa masse atteint 90 kg. Calculez la variation absolue et la variation relative de la masse de l'objet.

Résolution

1. Calcul de la variation absolue :
La variation absolue est simplement la différence entre la valeur finale et la valeur initiale :
\( \Delta m = 90 \, \text{kg} - 80 \, \text{kg} = 10 \, \text{kg} \)
La variation absolue de la masse est de 10 kg.

2. Calcul de la variation relative :
La variation relative est le rapport entre la variation absolue et la valeur initiale, multiplié par 100 pour obtenir un pourcentage :
\( \text{Variation relative} = \frac{90 - 80}{80} \times 100 = \frac{10}{80} \times 100 = 12,5 \% \)
La variation relative de la masse est de 12,5 %.

Conclusion :
L'objet a vu sa masse augmenter de 10 kg, ce qui correspond à une augmentation de 12,5 % par rapport à sa masse initiale.

2

Evolutions successives et évolution réciproque

Les évolutions successives correspondent à des modifications successives d'une quantité au fil du temps, tandis que l'évolution réciproque s'intéresse à l'effet inverse, c'est-à-dire à l'influence d'un facteur modifié sur une autre quantité. Ces concepts sont essentiels dans l'analyse des phénomènes variés, comme les changements dans les prix ou les taux de croissance dans divers domaines.

Évolution successive

Une évolution successive est une série de changements successifs qui affectent une quantité au fil du temps. Par exemple, dans le cas d'une augmentation de salaire, chaque augmentation peut être calculée en pourcentage par rapport à la valeur précédente.

Évolution réciproque

L'évolution réciproque désigne l'influence d'un changement d'une quantité sur une autre de manière inverse. Par exemple, une diminution de la quantité de produit disponible peut entraîner une augmentation des prix si la demande reste stable.

Exercice

Le prix d'un article augmente de 10% puis de 5% par la suite. Quel est le pourcentage total d'augmentation du prix ?

Résolution

Pour résoudre cet exercice, nous devons prendre en compte les deux augmentations successives :

1. La première augmentation de 10% peut être calculée comme suit :

Prix final après 10% d'augmentation = Prix initial × (1 + 10/100) = Prix initial × 1.10

2. La deuxième augmentation de 5% s'applique au prix après la première augmentation :

Prix final après 5% d'augmentation = (Prix initial × 1.10) × (1 + 5/100) = Prix initial × 1.10 × 1.05

3. Le pourcentage total d'augmentation peut être trouvé en comparant le prix final au prix initial :

Pourcentage total = (Prix final - Prix initial) / Prix initial × 100

Pourcentage total = (Prix initial × 1.10 × 1.05 - Prix initial) / Prix initial × 100

Pourcentage total = (1.10 × 1.05 - 1) × 100 = 15.5%

La hausse totale du prix est donc de 15.5%.

3

Capacités attendues

  • Utiliser les proportions et les pourcentages pour résoudre des problèmes concrets.
  • Calculer des variations absolues et relatives pour analyser des changements numériques.
  • Appliquer les notions d'évolutions successives et d'évolution réciproque dans des contextes variés.
  • Interpréter et manipuler des informations chiffrées pour tirer des conclusions pertinentes.
  • Résoudre des problèmes impliquant des pourcentages de pourcentages avec précision.