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Géométrie repérée

Base et repère du plan

Un repère du plan est constitué de deux éléments :

  • Une base : Il s'agit de deux vecteurs non colinéaires dans le plan, généralement notés \(\overrightarrow{i}\) et \(\overrightarrow{j}\), qui servent de référence pour définir toutes les autres directions du plan. Ces deux vecteurs définissent une orientation dans le plan.
  • Un point d'origine : Ce point, généralement noté \(O\), est l'origine du repère. C'est à partir de ce point que les coordonnées de tous les autres points du plan seront déterminées.

L'ensemble de ces éléments, c'est-à-dire le point \(O\) et les deux vecteurs \(\overrightarrow{i}\) et \(\overrightarrow{j}\), constitue un repère de type cartésien dans le plan. Ce repère permet de localiser un point \(P\) du plan par ses coordonnées \((x, y)\), où \(x\) et \(y\) sont les coordonnées du vecteur \(\overrightarrow{OP}\) dans la base \(\overrightarrow{i}\) et \(\overrightarrow{j}\).

Les coordonnées d'un point \(P\) dans ce repère sont donc données par la relation suivante :

\(\overrightarrow{OP} = x \overrightarrow{i} + y \overrightarrow{j}\)

où \(x\) et \(y\) sont des réels représentant les projections du vecteur \(\overrightarrow{OP}\) sur les axes définis par les vecteurs \(\overrightarrow{i}\) et \(\overrightarrow{j}\).

Définition : Repère du plan

Un repère du plan est constitué d'un point d'origine \(O\) et de deux vecteurs non colinéaires \(\overrightarrow{i}\) et \(\overrightarrow{j}\), qui servent de base pour définir les coordonnées de tout point \(P\) dans le plan.

Représentation d'un point dans le plan : Un point \(P\) est représenté par ses coordonnées \((x, y)\) dans le repère cartésien, où \(x\) est la distance à l'axe des ordonnées (\(y = 0\)), et \(y\) est la distance à l'axe des abscisses (\(x = 0\)).

Exercice

Dans le repère \(O\) (origine \(O\)) défini par les vecteurs \(\overrightarrow{i} = (2, 0)\) et \(\overrightarrow{j} = (0, 3)\), déterminer les coordonnées du point \(P\) dont le vecteur \(\overrightarrow{OP}\) est donné par \(\overrightarrow{OP} = 4 \overrightarrow{i} + 5 \overrightarrow{j}\).

Résolution

Nous avons les vecteurs de la base : \(\overrightarrow{i} = (2, 0)\) et \(\overrightarrow{j} = (0, 3)\).

Le vecteur \(\overrightarrow{OP}\) est exprimé comme une combinaison linéaire des vecteurs \(\overrightarrow{i}\) et \(\overrightarrow{j}\) :

\(\overrightarrow{OP} = 4 \overrightarrow{i} + 5 \overrightarrow{j}\)

En remplaçant \(\overrightarrow{i}\) et \(\overrightarrow{j}\) par leurs coordonnées respectives :

\(\overrightarrow{OP} = 4(2, 0) + 5(0, 3)\)

Ce qui donne :

\(\overrightarrow{OP} = (8, 0) + (0, 15)\)

En additionnant les deux vecteurs :

\(\overrightarrow{OP} = (8 + 0, 0 + 15) = (8, 15)\)

Les coordonnées du point \(P\) dans le repère \(O\) sont donc \((8, 15)\).

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Colinéarité de vecteurs et déterminant entre deux vecteurs

La colinéarité de deux vecteurs se réfère à la situation où ces vecteurs sont alignés sur une même droite. Autrement dit, deux vecteurs sont colinéaires s'il existe un réel \( \lambda \) tel que l'un des vecteurs est un multiple de l'autre.

Définition : Colinéarité de deux vecteurs

Deux vecteurs \( \overrightarrow{u} \) et \( \overrightarrow{v} \) sont dits colinéaires s'il existe un réel \( \lambda \) tel que :

\[ \overrightarrow{u} = \lambda \overrightarrow{v} \]

Cela signifie que les vecteurs sont parallèles ou opposés en fonction du signe de \( \lambda \).

Le déterminant entre deux vecteurs permet de déterminer s'ils sont colinéaires. Pour deux vecteurs \( \overrightarrow{u} = (u_1, u_2) \) et \( \overrightarrow{v} = (v_1, v_2) \), leur déterminant est défini par :

\[ \text{Det}(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}) = u_1 \times v_2 - u_2 \times v_1 \]

Propriété : Déterminant entre deux vecteurs

Si \( \text{Det}(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}) = 0 \), alors les vecteurs \( \overrightarrow{u} \) et \( \overrightarrow{v} \) sont colinéaires.

Si \( \text{Det}(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}) \neq 0 \), les vecteurs ne sont pas colinéaires et donc non parallèles.

Exercice

Soit les vecteurs \( \overrightarrow{u} = (3, 5) \) et \( \overrightarrow{v} = (6, 10) \). Vérifier s'ils sont colinéaires en calculant leur déterminant.

Résolution

1. Nous avons les coordonnées des vecteurs :

  • \( \overrightarrow{u} = (u_1, u_2) = (3, 5) \)
  • \( \overrightarrow{v} = (v_1, v_2) = (6, 10) \)

2. Calculons le déterminant entre \( \overrightarrow{u} \) et \( \overrightarrow{v} \) :

\[ \text{Det}(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}) = u_1 \times v_2 - u_2 \times v_1 = 3 \times 10 - 5 \times 6 = 30 - 30 = 0 \]

3. Comme \( \text{Det}(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}) = 0 \), les vecteurs \( \overrightarrow{u} \) et \( \overrightarrow{v} \) sont colinéaires.

Conclusion : Les vecteurs \( \overrightarrow{u} \) et \( \overrightarrow{v} \) sont colinéaires, car leur déterminant est égal à zéro.

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Utilisation de la colinéarité de vecteurs : Droites parallèles, points alignés, milieu d'un segment

La colinéarité des vecteurs est un concept fondamental pour étudier l'alignement de points et la parallélisme de droites. Dans ce point, nous abordons l'utilisation pratique de la colinéarité des vecteurs dans trois situations courantes :

  • Détermination de la parallélisme de droites à partir de la colinéarité des vecteurs.
  • Vérification de l'alignement de points en utilisant les vecteurs qui les relient.
  • Calcul du milieu d'un segment en utilisant la colinéarité des vecteurs associés aux extrémités du segment.

Colinéarité de vecteurs

Deux vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont dits colinéaires s'il existe un réel \(\lambda\) tel que :

\(\overrightarrow{AB} = \lambda \times \overrightarrow{AC}\)

Exemple :

Soit \(A(1, 2)\), \(B(3, 4)\) et \(C(5, 6)\). Vérifions si les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires.

Les coordonnées des vecteurs sont :

\(\overrightarrow{AB} = (3-1, 4-2) = (2, 2)\)

\(\overrightarrow{AC} = (5-1, 6-2) = (4, 4)\)

Nous vérifions si \(\overrightarrow{AB}\) est un multiple de \(\overrightarrow{AC}\). Calculons les rapports des coordonnées :

\(\frac{2}{4} = 0.5\) et \(\frac{2}{4} = 0.5\)

Les deux rapports sont égaux, donc \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires.

Exercice

Soit les points \(A(1, 1)\), \(B(4, 5)\) et \(C(7, 9)\). Déterminez si les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires.

Résolution

Les coordonnées des vecteurs sont :

\(\overrightarrow{AB} = (4-1, 5-1) = (3, 4)\)

\(\overrightarrow{AC} = (7-1, 9-1) = (6, 8)\)

Calculons les rapports des coordonnées :

\(\frac{3}{6} = 0.5\) et \(\frac{4}{8} = 0.5\)

Les rapports sont égaux, donc les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires.

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Projeté orthogonal d'un point sur une droite, distance entre un point et une droite, tangente à un cercle

Dans cette section, nous abordons les notions de projeté orthogonal d'un point sur une droite, de distance entre un point et une droite, ainsi que de tangente à un cercle. Ces concepts sont essentiels en géométrie pour l'analyse de la position relative d'un point et d'une droite ou d'un cercle.

Projeté orthogonal

Le projeté orthogonal d'un point \( M \) sur une droite \( d \) est le point \( P \) de \( d \) tel que le vecteur \( \overrightarrow{MP} \) soit perpendiculaire à \( d \). Cela signifie que l'angle entre \( \overrightarrow{MP} \) et \( d \) est de \( 90^\circ \).

Distance entre un point et une droite

La distance \( d \) entre un point \( M \) et une droite \( d \) est la longueur du segment \( [MP] \), où \( P \) est le projeté orthogonal de \( M \) sur \( d \). Elle est donnée par la formule :

\[ d = \frac{|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AM}|}{|\overrightarrow{AB}|} \]

où \( A \) et \( B \) sont des points distincts de la droite \( d \) et \( M \) est le point dont on veut calculer la distance à \( d \).

Tangente à un cercle

La tangente à un cercle en un point \( T \) est une droite qui touche le cercle uniquement en \( T \) et est perpendiculaire au rayon du cercle passant par \( T \). La tangente est donc orthogonale au rayon au point de contact.

Exercice

Soit le point \( M(3, 4) \) et la droite \( d \) définie par l'équation \( 2x - y + 1 = 0 \). Calculez la distance entre le point \( M \) et la droite \( d \).

Résolution

Pour calculer la distance entre le point \( M(3, 4) \) et la droite \( d : 2x - y + 1 = 0 \), nous utilisons la formule de la distance d'un point à une droite :

\[ d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \]

Dans cette formule, \( A = 2 \), \( B = -1 \) et \( C = 1 \) (les coefficients de l'équation de la droite), et \( (x_1, y_1) = (3, 4) \) est les coordonnées du point \( M \).

Nous remplaçons les valeurs dans la formule :

\[ d = \frac{|2 \times 3 + (-1) \times 4 + 1|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} \]

\[ d = \frac{|6 - 4 + 1|}{\sqrt{4 + 1}} = \frac{|3|}{\sqrt{5}} = \frac{3}{\sqrt{5}} \approx 1.34 \]

La distance entre le point \( M(3, 4) \) et la droite \( d \) est donc d'environ \( 1.34 \) unités.

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Capacités attendues

  • Identifier et utiliser un repère dans le plan.
  • Calculer les coordonnées d’un vecteur dans un repère donné.
  • Appliquer la colinéarité de vecteurs pour déterminer des relations géométriques entre des points.
  • Utiliser la colinéarité pour déterminer si des droites sont parallèles ou si des points sont alignés.
  • Calculer les coordonnées du milieu d'un segment à partir de celles de ses extrémités.
  • Effectuer un projeté orthogonal d’un point sur une droite et en déduire la distance entre le point et la droite.
  • Appliquer la notion de tangente à un cercle dans le cadre de problèmes géométriques.