Fonctions de référence

Fonction \( x^2 \) : variations, signes, résolution d'équation et d'inéquations

Définition de la fonction \( x^2 \)

La fonction carré, notée \( f(x) = x^2 \), associe à chaque nombre réel \( x \) son carré. Elle est définie pour tout \( x \in \mathbb{R} \).

Propriétés de la fonction \( x^2 \)

Expression : \( f(x) = x^2 \)
Domaine de définition : \( \mathbb{R} \)
Parité : La fonction \( f(x) = x^2 \) est paire, car \( f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x) \).
Variations : \( f(x) \) est décroissante sur \( ]-\infty, 0] \) et croissante sur \( [0, +\infty[ \).
Valeur minimale : La valeur minimale de \( f(x) = x^2 \) est 0, atteinte pour \( x = 0 \).
Signe : La fonction est positive ou nulle pour tout \( x \in \mathbb{R} \), donc \( f(x) \geq 0 \).

Étude des variations de \( f(x) = x^2 \)

Pour analyser les variations de \( f(x) = x^2 \) :

Lorsque \( x \) est négatif et tend vers zéro, \( x^2 \) diminue.
Lorsque \( x \) est positif et s’éloigne de zéro, \( x^2 \) augmente.

Ainsi, la fonction atteint un minimum en \( x = 0 \), avec \( f(0) = 0 \).

Signe de \( f(x) = x^2 \)

Pour tout \( x \in \mathbb{R} \), \( x^2 \geq 0 \), donc \( f(x) \) est toujours positive ou nulle.

Exemple :

Résolution d'équation de la forme \( x^2 = a \) avec \( a \geq 0 \).

Si \( a = 0 \), alors \( x = 0 \).
Si \( a > 0 \), alors \( x = \pm \sqrt{a} \).

Exemple :

Résolution d'inéquation de la forme \( x^2 \leq a \) ou \( x^2 \geq a \) avec \( a \geq 0 \).

\( x^2 \leq a \) est équivalente à \( -\sqrt{a} \leq x \leq \sqrt{a} \).
\( x^2 \geq a \) est équivalente à \( x \leq -\sqrt{a} \) ou \( x \geq \sqrt{a} \).

Exercice

Résoudre l'inéquation \( x^2 \leq 4 \).

Résolution

Identification de l'inéquation : On cherche les valeurs de \( x \) pour lesquelles \( x^2 \leq 4 \).
Calcul des bornes : On réécrit \( x^2 \leq 4 \) comme une double inéquation : \[ -\sqrt{4} \leq x \leq \sqrt{4} \]
Valeurs de racine : Comme \( \sqrt{4} = 2 \), l'inéquation devient : \[ -2 \leq x \leq 2 \]
Conclusion : Les solutions de l'inéquation sont donc : \[ x \in [-2, 2] \]

Vérification :

Pour \( x = -2 \), \( x^2 = 4 \), ce qui vérifie \( x^2 \leq 4 \).
Pour \( x = 0 \), \( x^2 = 0 \), également vérifié.
Pour \( x = 2 \), \( x^2 = 4 \), aussi conforme à l'inéquation.

Ainsi, l'ensemble solution est bien \( x \in [-2, 2] \).

Fonction \( x^3 \): variations, signes, résolution d'équations et d'inéquations

Propriété de la fonction \( x^3 \)

La fonction \( f(x) = x^3 \) est définie pour tout \( x \in \mathbb{R} \).

Elle est strictement croissante sur \( \mathbb{R} \), ce qui signifie que pour tous \( x_1 < x_2 \), on a \( f(x_1) < f(x_2) \).

Tableau de variations de \( x^3 \)

Le tableau de variations de la fonction \( f(x) = x^3 \) est le suivant :

x	\(-\infty\)		\(+\infty\)
f(x)	\(-\infty\)	↗	\(+\infty\)

Signes de \( x^3 \)

Le signe de \( x^3 \) dépend de celui de \( x \). Ainsi :

Pour \( x > 0 \), \( x^3 > 0 \)
Pour \( x = 0 \), \( x^3 = 0 \)
Pour \( x < 0 \), \( x^3 < 0 \)

Exercice

Résoudre les équations et inéquations suivantes :

\( x^3 = 8 \)
\( x^3 > -27 \)

Résolution

Résolvons \( x^3 = 8 \).

On cherche \( x \) tel que \( x^3 = 8 \). On a :

\( x = \sqrt[3]{8} = 2 \).

La solution de l'équation est donc \( x = 2 \).
Résolvons \( x^3 > -27 \).

On cherche \( x \) tel que \( x^3 > -27 \). On sait que :

\( -27 = (-3)^3 \), donc l'inéquation est équivalente à :

\( x > -3 \).

La solution de l'inéquation est donc \( x > -3 \).

Fonction \( \sqrt{x} \) : variations, signes, résolution d'équation et d'inéquations

La fonction \( f(x) = \sqrt{x} \) est définie pour les réels \( x \geq 0 \). Le domaine de définition de cette fonction est donc \( D_f = [0, +\infty[ \).

Variations de la fonction \( f(x) = \sqrt{x} \)

La fonction \( f(x) = \sqrt{x} \) est croissante sur son domaine \( [0, +\infty[ \). En effet, pour tous \( x_1 \) et \( x_2 \) dans \( [0, +\infty[ \) avec \( x_1 < x_2 \), on a la relation suivante :

\[ \sqrt{x_1} < \sqrt{x_2} \]

Cela signifie que plus \( x \) est grand, plus \( \sqrt{x} \) est grand. La fonction est donc croissante et n'atteint jamais de valeurs négatives.

Signe de la fonction \( f(x) = \sqrt{x} \)

Le signe de \( f(x) = \sqrt{x} \) est positif ou nul, puisque pour tout \( x \geq 0 \) :

Si \( x > 0 \), alors \( \sqrt{x} > 0 \),
Si \( x = 0 \), alors \( \sqrt{0} = 0 \).

Ainsi, la fonction \( f(x) = \sqrt{x} \) est toujours positive ou nulle sur son domaine de définition \( [0, +\infty[ \).

Résolution d'équation de la forme \( \sqrt{x} = a \)

Pour résoudre une équation de la forme \( \sqrt{x} = a \), où \( a \geq 0 \), nous procédons comme suit :

On élève les deux membres de l'équation au carré :

\[ x = a^2 \]

La solution de cette équation est donc \( x = a^2 \), et elle est valide pour \( a \geq 0 \).

Résolution d'inéquation de la forme \( \sqrt{x} \leq a \)

Pour résoudre une inéquation de la forme \( \sqrt{x} \leq a \), où \( a \geq 0 \), nous procédons de manière similaire :

On élève les deux membres de l'inégalité au carré :

\[ x \leq a^2 \]

La solution de cette inéquation est l'ensemble \( x \in [0, a^2] \), et elle est valable uniquement si \( a \geq 0 \).

Exercice

Résoudre l'équation suivante : \( \sqrt{x} = 4 \)

Résolution

1. L'équation donnée est \( \sqrt{x} = 4 \).

2. En élevant les deux membres de l'équation au carré, on obtient :

\[ x = 4^2 = 16 \]

3. La solution de l'équation est donc \( x = 16 \).

Exercice

Résoudre l'inéquation suivante : \( \sqrt{x} \leq 3 \)

Résolution

1. L'inéquation donnée est \( \sqrt{x} \leq 3 \).

2. En élevant les deux membres de l'inégalité au carré, on obtient :

\[ x \leq 3^2 = 9 \]

3. La solution de l'inéquation est donc l'ensemble \( x \in [0, 9] \).

Fonction \( \frac{1}{x} \) : variations, signes, résolution d'équation et d'inéquations

La fonction \( f(x) = \frac{1}{x} \) est définie pour tous les réels \( x \) différents de zéro. Elle est continue et présente des comportements spécifiques que nous allons analyser.

Variations :

Pour analyser les variations de la fonction, il est utile de considérer le signe de \( x \). La fonction est décroissante sur les intervalles \( (-\infty, 0) \) et \( (0, +\infty) \), et présente une asymptote verticale en \( x = 0 \), c'est-à-dire qu'à mesure que \( x \) approche zéro, \( f(x) \) tend vers \( +\infty \) ou \( -\infty \) en fonction du signe de \( x \).

Signe de la fonction :

Le signe de \( f(x) = \frac{1}{x} \) dépend du signe de \( x \) :

Pour \( x > 0 \), \( f(x) > 0 \).
Pour \( x < 0 \), \( f(x) < 0 \).

Résolution d'équation :

Pour résoudre une équation du type \( \frac{1}{x} = a \), avec \( a \) un réel donné :

Si \( a = 0 \), il n'y a pas de solution, car la fonction ne s'annule jamais.
Si \( a \neq 0 \), on résout \( x = \frac{1}{a} \).

Résolution d'inéquation :

Pour résoudre une inéquation du type \( \frac{1}{x} > a \), on procède comme suit :

Si \( a > 0 \), la solution est \( x < \frac{1}{a} \) pour \( x > 0 \), et \( x > \frac{1}{a} \) pour \( x < 0 \).
Si \( a < 0 \), la solution est \( x > \frac{1}{a} \) pour \( x > 0 \), et \( x < \frac{1}{a} \) pour \( x < 0 \).

Exercice

Résoudre l'équation \( \frac{1}{x} = 2 \).

Résolution

Nous avons l'équation \( \frac{1}{x} = 2 \). Pour résoudre cette équation :

On multiplie les deux membres de l'équation par \( x \) (en prenant soin de ne pas annuler le dénominateur) : \( 1 = 2x \).
On divise ensuite les deux membres de l'équation par 2 : \( x = \frac{1}{2} \).

La solution de l'équation est donc \( x = \frac{1}{2} \).

Comparaison des fonctions \(x^2\), \(x^3\), \(\sqrt{x}\) et \(\frac{1}{x}\) sur \([0; +\infty[\)

Sur l'intervalle \([0; +\infty[\), nous allons comparer les quatre fonctions \(f(x) = x^2\), \(g(x) = x^3\), \(h(x) = \sqrt{x}\) et \(k(x) = \frac{1}{x}\) en établissant des inégalités qui relient ces fonctions entre elles. L'objectif est de déterminer, pour chaque valeur de \(x\), quelle fonction est la plus grande ou la plus petite.

1. Comparaison entre \(x^2\) et \(x^3\) :

Sur l'intervalle \([0; 1]\), \(x^2 \geq x^3\).
Sur l'intervalle \([1; +\infty[\), \(x^2 \leq x^3\).

2. Comparaison entre \(x^2\) et \(\sqrt{x}\) :

Sur l'intervalle \([0; 1]\), \(\sqrt{x} \leq x^2\).
Sur l'intervalle \([1; +\infty[\), \(\sqrt{x} \geq x^2\).

3. Comparaison entre \(x^2\) et \(\frac{1}{x}\) :

Pour \(x \in (0; 1]\), \(\frac{1}{x} \geq x^2\).
Pour \(x \geq 1\), \(\frac{1}{x} \leq x^2\).

4. Comparaison entre \(x^3\) et \(\frac{1}{x}\) :

Pour \(x \in (0; 1]\), \(\frac{1}{x} \geq x^3\).
Pour \(x \geq 1\), \(x^3 \geq \frac{1}{x}\).

5. Comparaison entre \(\sqrt{x}\) et \(\frac{1}{x}\) :

Pour \(x \in (0; 1]\), \(\frac{1}{x} \geq \sqrt{x}\).
Pour \(x \geq 1\), \(\sqrt{x} \geq \frac{1}{x}\).

Exercice

Comparer les fonctions \(f(x) = x^2\), \(g(x) = x^3\), \(h(x) = \sqrt{x}\), et \(k(x) = \frac{1}{x}\) sur l'intervalle \([0; 1]\).

Résolution

Nous allons comparer les valeurs de chaque fonction entre elles sur l'intervalle \([0; 1]\), à l'aide des inégalités déjà établies.

Comparaison entre \(x^2\) et \(x^3\) sur \([0; 1]\) : On sait que sur \([0; 1]\), \(x^2 \geq x^3\), donc \(f(x) \geq g(x)\) sur cet intervalle.
Comparaison entre \(x^2\) et \(\sqrt{x}\) sur \([0; 1]\) : On sait que sur \([0; 1]\), \(\sqrt{x} \leq x^2\), donc \(h(x) \leq f(x)\) sur cet intervalle.
Comparaison entre \(x^2\) et \(\frac{1}{x}\) sur \([0; 1]\) : On sait que sur \([0; 1]\), \(\frac{1}{x} \geq x^2\), donc \(k(x) \geq f(x)\) sur cet intervalle.
Comparaison entre \(x^3\) et \(\sqrt{x}\) sur \([0; 1]\) : On sait que sur \([0; 1]\), \(x^3 \leq \sqrt{x}\), donc \(g(x) \leq h(x)\) sur cet intervalle.
Comparaison entre \(x^3\) et \(\frac{1}{x}\) sur \([0; 1]\) : On sait que sur \([0; 1]\), \(\frac{1}{x} \geq x^3\), donc \(k(x) \geq g(x)\) sur cet intervalle.
Comparaison entre \(\sqrt{x}\) et \(\frac{1}{x}\) sur \([0; 1]\) : On sait que sur \([0; 1]\), \(\frac{1}{x} \geq \sqrt{x}\), donc \(k(x) \geq h(x)\) sur cet intervalle.

Conclusion: Sur l'intervalle \([0; 1]\), les inégalités entre les fonctions sont les suivantes :

\(k(x) \geq f(x) \geq g(x) \geq h(x)\), c'est-à-dire :

\(\frac{1}{x} \geq x^2 \geq x^3 \geq \sqrt{x} \quad \text{pour} \quad x \in (0; 1].

Capacités attendues

Analyser les variations des fonctions de référence telles que \( x^2 \), \( x^3 \), \( \sqrt{x} \) et \( \frac{1}{x} \).
Déterminer les signes des fonctions de référence sur des intervalles donnés.
Résoudre des équations et inéquations impliquant les fonctions de référence.
Comparer les fonctions de référence sur l'intervalle \([0; +\infty[\) et en tirer des conclusions sur leur comportement relatif.
Utiliser des méthodes algébriques et graphiques pour résoudre des problèmes concernant ces fonctions.

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