Fonctions affines

Une fonction affine est une fonction qui peut s'écrire sous la forme :

\( f(x) = mx + p \)

où :

m est le coefficient directeur de la fonction,
p est l'ordonnée à l'origine.

Définition du coefficient directeur \( m \)

Le coefficient directeur représente la pente de la droite. Il indique la variation de la fonction lorsque \( x \) augmente d'une unité.

Les propriétés du coefficient directeur sont les suivantes :

Si \( m > 0 \), la fonction est croissante.
Si \( m < 0 \), la fonction est décroissante.
Si \( m = 0 \), la fonction est constante.

Définition de l'ordonnée à l'origine \( p \)

L'ordonnée à l'origine est la valeur de la fonction lorsque \( x = 0 \). C'est le point où la droite coupe l'axe des ordonnées.

Pour déterminer le coefficient directeur \( m \) et l'ordonnée à l'origine \( p \) à partir d'un graphique, suivez ces étapes :

Identifier deux points sur la droite, par exemple, \( A(x_1, y_1) \) et \( B(x_2, y_2) \).
Calculer le coefficient directeur à l'aide de la formule :
\( m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \)
Déterminer l'ordonnée à l'origine \( p \) en identifiant le point où la droite coupe l'axe des ordonnées (lorsque \( x = 0 \ \)).

Élément	Formule	Signification
Coefficient directeur	m	Pente de la droite, variation de \( f \)
Ordonnée à l'origine	p = f(0)	Valeur de \( f \) quand \( x = 0 \)

Exercice

Considérons la fonction affine représentée par le graphique ci-dessous, qui passe par les points \( A(1, 5) \) et \( B(3, 9) \).

1. Déterminer le coefficient directeur \( m \).

2. Déterminer l'ordonnée à l'origine \( p \).

Résolution

1. Pour déterminer le coefficient directeur \( m \), nous utilisons les points \( A(1, 5) \) et \( B(3, 9) \) dans la formule :

\( m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{9 - 5}{3 - 1} = \frac{4}{2} = 2 \)

2. Pour trouver l'ordonnée à l'origine \( p \), nous cherchons le point où la droite coupe l'axe des ordonnées. En regardant le graphique, nous constatons que lorsque \( x = 0 \), \( y = 3 \). Donc,

\( p = 3 \)

Alternativement, nous pouvons confirmer cela en substituant \( m \) dans l'équation de la droite pour obtenir \( f(x) \) :

\( f(x) = 2x + p \)

Pour trouver \( p \), nous pouvons substituer un point connu, par exemple \( A(1, 5) \) :

\( 5 = 2 \times 1 + p \implies p = 5 - 2 = 3 \)

Conclusion : Pour la fonction représentée, nous avons :

Coefficient directeur \( m = 2 \) (la fonction est croissante),
Ordonnée à l'origine \( p = 3 \).

Tableau de variations et tableau de signes des fonctions affines

Les fonctions affines peuvent être représentées graphiquement, et leur analyse nécessite la construction de tableaux de variations et de signes. Ces tableaux permettent d’étudier les comportements de la fonction en fonction de son coefficient directeur et de son ordonnée à l'origine.

Tableau de variations

Pour une fonction affine de la forme \( f(x) = mx + p \), où \( m \) est le coefficient directeur et \( p \) est l'ordonnée à l'origine :

Si \( m > 0 \), la fonction est croissante sur tout son domaine.
Si \( m < 0 \), la fonction est décroissante sur tout son domaine.
Si \( m = 0 \), la fonction est constante sur tout son domaine.

Tableau de signes

Pour une fonction affine \( f(x) = mx + p \) :

La fonction s'annule lorsque \( mx + p = 0 \), ce qui se résout par \( x = -\frac{p}{m} \) si \( m \neq 0 \).
Les signes de \( f(x) \) dépendent des valeurs de \( m \) et \( p \) :

Si \( m > 0 \) et \( p > 0 \), alors \( f(x) > 0 \) pour tout \( x > -\frac{p}{m} \) et \( f(x) < 0 \) pour \( x < -\frac{p}{m} \).
Si \( m > 0 \) et \( p < 0 \), alors \( f(x) < 0 \) pour \( x < -\frac{p}{m} \) et \( f(x) > 0 \) pour \( x > -\frac{p}{m} \).
Si \( m < 0 \), la situation est inversée.

Voici un tableau récapitulatif des variations et des signes d'une fonction affine :

Coefficient directeur \( m \)	Ordonnée à l'origine \( p \)	Variation de \( f(x) \)	Signe de \( f(x) \)
\( m > 0 \)	\( p > 0 \)	Croissante	\( f(x) > 0 \) pour \( x > -\frac{p}{m} \)
\( m > 0 \)	\( p < 0 \)	Croissante	\( f(x) < 0 \) pour \( x < -\frac{p}{m} \)
\( m < 0 \)	\( p > 0 \)	Décroissante	\( f(x) < 0 \) pour \( x < -\frac{p}{m} \)
\( m < 0 \)	\( p < 0 \)	Décroissante	\( f(x) > 0 \) pour \( x > -\frac{p}{m} \)
\( m = 0 \)	N'importe quel \( p \)	Constante	\( f(x) = p \)

Exercice

Soit la fonction affine définie par \( f(x) = 2x - 4 \). Établissez le tableau de variations et le tableau de signes de cette fonction.

Résolution

Pour établir le tableau de variations et le tableau de signes, nous allons d'abord identifier le coefficient directeur \( m \) et l'ordonnée à l'origine \( p \).

Dans notre fonction, nous avons :

\( m = 2 \quad \text{et} \quad p = -4 \)

Tableau de variations :
Comme \( m > 0 \), la fonction est croissante sur tout son domaine. Le tableau de variations est donc :

x	f(x)	Variation
-∞	-∞	\(\nearrow\)
+∞	+∞

Tableau de signes :
Pour déterminer les signes de la fonction, nous cherchons où \( f(x) = 0 \) :

\( 2x - 4 = 0 \implies 2x = 4 \implies x = 2 \)

Pour \( x < 2 \), \( f(x) < 0 \)
Pour \( x = 2 \), \( f(x) = 0 \)
Pour \( x > 2 \), \( f(x) > 0 \)

Le tableau de signes est donc :

x	f(x)	Signe
-∞	-4	<0
2	0	= 0
+∞	+∞	> 0

Capacités attendues

Définir une fonction affine et reconnaître ses caractéristiques.
Calculer le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine d'une fonction affine à partir de son équation.
Interpréter graphiquement les éléments d'une fonction affine.
Construire et utiliser des tableaux de variations pour représenter le comportement d'une fonction affine.
Établir des tableaux de signes pour analyser les valeurs d'une fonction affine.
Appliquer les notions de fonctions affines à des problèmes concrets.

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