Équations et inéquations

Équations et inéquations

Une équation du premier degré est une équation de la forme :

\[ ax + b = 0 \]

où \( a \) et \( b \) sont des nombres réels, et \( a \neq 0 \). L'objectif est de trouver la valeur de \( x \) qui vérifie cette équation.

Pour résoudre l'équation \( ax + b = 0 \), on peut suivre les étapes suivantes :

1. Isoler \( x \) en soustrayant \( b \) des deux côtés :

\[ ax = -b \]

2. Diviser les deux côtés par \( a \) (puisque \( a \neq 0 \)) :

\[ x = -\frac{b}{a} \]

Une équation à produit nul est de la forme :

\[ f(x) = 0 \]

où \( f(x) \) est un produit de facteurs, généralement écrit sous la forme :

\[ f(x) = (x - r_1)(x - r_2) \ldots (x - r_n) \]

Pour que le produit soit nul, au moins un des facteurs doit être nul, ce qui nous conduit à la méthode de résolution suivante :

Pour résoudre une équation à produit nul, on suit ces étapes :

1. Identifier les facteurs du produit \( f(x) \).
2. Poser chaque facteur égal à zéro :

\[ x - r_i = 0 \quad \text{pour chaque } i \]

3. Résoudre pour \( x \) :

\[ x = r_i \]

Inégalités et inéquations du premier degré

Les inégalités et inéquations sont des expressions mathématiques qui établissent une relation d'ordre entre deux quantités. Elles sont souvent utilisées pour résoudre des problèmes où des conditions minimales ou maximales doivent être respectées.

Inégalités du premier degré

Une inégalité du premier degré est une expression de la forme :

\[ ax + b < c \] ou \[ ax + b \leq c \] ou \[ ax + b > c \] ou \[ ax + b \geq c \]

où \( a \), \( b \), et \( c \) sont des nombres réels, et \( a \neq 0 \). La solution d'une inégalité est un ensemble de valeurs qui satisfait cette inégalité.

Résolution d'inégalités

Pour résoudre une inégalité du premier degré, on suit une méthode similaire à celle utilisée pour les équations. Voici les étapes à suivre :

1. Isoler la variable : Regrouper les termes contenant la variable d'un côté et les constantes de l'autre côté.
2. Appliquer les opérations : On peut additionner, soustraire, multiplier ou diviser les deux membres de l'inégalité par le même nombre. Attention : multiplier ou diviser par un nombre négatif inverse l'inégalité.
3. Exprimer la solution : La solution est souvent écrite sous forme d'intervalle.

Inéquations à produit nul

Une inéquation à produit nul est une inégalité de la forme :

\[ f(x) = (x - a)(x - b) < 0 \] ou \[ f(x) = (x - a)(x - b) \leq 0 \]

où \( a \) et \( b \) sont des nombres réels. Pour résoudre une inéquation à produit nul, on suit les étapes suivantes :

1. Trouver les racines : Identifier les valeurs de \( x \) pour lesquelles \( f(x) = 0 \).
2. Déterminer les signes : Analyser les intervalles déterminés par les racines pour savoir où \( f(x) \) est positif ou négatif.
3. Exprimer la solution : Écrire la solution sous forme d'intervalle.

Les inégalités et inéquations du premier degré sont des outils essentiels pour modéliser et résoudre des problèmes où des conditions de seuil doivent être respectées. La compréhension et la maîtrise de leur résolution sont fondamentales dans l'apprentissage des mathématiques.