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Équations de droites

Vecteur directeur d'une droite, équation cartésienne de droite

Définition du vecteur directeur d'une droite

Le vecteur directeur \(\overrightarrow{u} = (a, b)\) d'une droite est un vecteur parallèle à cette droite. Il caractérise la direction de la droite et permet de définir son équation.

Équation cartésienne d'une droite

L'équation cartésienne d'une droite dans le plan est une relation de la forme :

ax + by + c = 0

où \(a\), \(b\) et \(c\) sont des constantes, et \((x, y)\) sont les coordonnées de tout point appartenant à la droite.

Cette équation peut être obtenue à partir de la notion de vecteur directeur. En effet, pour une droite ayant pour vecteur directeur \(\overrightarrow{u} = (a, b)\), et passant par un point \(A(x_1, y_1)\), l'équation de la droite peut être obtenue en utilisant le fait que tout vecteur \(\overrightarrow{AB}\) reliant le point \(A(x_1, y_1)\) à un point \(B(x, y)\) de la droite est parallèle au vecteur directeur \(\overrightarrow{u}\).

La relation entre le vecteur directeur et le vecteur \(\overrightarrow{AB}\) est donnée par :

\(\overrightarrow{AB} = (x - x_1, y - y_1)\)

et cette relation doit être parallèle à \(\overrightarrow{u} = (a, b)\).

Cela implique que le vecteur \(\overrightarrow{AB}\) est un multiple du vecteur \(\overrightarrow{u}\), ce qui donne l'équation :

bx - bx_1 = ay - ay_1

qui est la forme générale de l'équation d'une droite à partir de son vecteur directeur.

Exercice

Soit la droite \(d\) passant par le point \(A(2, 3)\) et ayant pour vecteur directeur \(\overrightarrow{u} = (4, 5)\). Trouver l'équation cartésienne de cette droite sous la forme \(ax + by + c = 0\).

Résolution

1. Identification des données :

  • Le point \(A(2, 3)\) appartient à la droite.
  • Le vecteur directeur est \(\overrightarrow{u} = (4, 5)\), ce qui signifie que \(a = 4\) et \(b = 5\).

2. Utilisation de la forme générale de l'équation :

L'équation générale de la droite, en utilisant le point \(A(2, 3)\) et le vecteur directeur \(\overrightarrow{u} = (4, 5)\), est donnée par :

b(x - x_1) = a(y - y_1)

En substituant les valeurs de \(a\), \(b\), \(x_1\) et \(y_1\), on obtient :

5(x - 2) = 4(y - 3)

3. Simplification :

Développons cette équation :

5x - 10 = 4y - 12

En réarrangeant les termes pour obtenir l'équation sous la forme \(ax + by + c = 0\), on a :

5x - 4y + 2 = 0

L'équation cartésienne de la droite est donc :

5x - 4y + 2 = 0

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Equation réduite de droite : droites parallèles et non parallèles à l'axe des ordonnées

Une droite dans le plan peut être représentée de plusieurs manières, et l'une des formes les plus courantes est l'équation réduite. L'équation réduite d'une droite est une expression qui permet de la caractériser à l'aide de sa pente (ou coefficient directeur) et de son ordonnée à l'origine.

Equation réduite d'une droite

L'équation réduite d'une droite peut être écrite sous la forme :

\(y = mx + p\)

où :

  • m est le coefficient directeur de la droite, qui représente la pente de la droite, c'est-à-dire le taux de variation de \(y\) par rapport à \(x\),
  • p est l'ordonnée à l'origine, qui représente l'abscisse du point d'intersection de la droite avec l'axe des ordonnées (\(y\)-axe).

Droites parallèles et non parallèles à l'axe des ordonnées

Définition : Droite parallèle à l'axe des ordonnées

Une droite parallèle à l'axe des ordonnées est une droite verticale. L'abscisse de chaque point de la droite est égale à une constante \(a\). L'équation de cette droite est donc :

\(x = a\)

Définition : Droite non parallèle à l'axe des ordonnées

Une droite non parallèle à l'axe des ordonnées est une droite ayant une pente différente de zéro. Son équation prend la forme :

\(y = mx + p\)

Propriétés des droites parallèles et non parallèles à l'axe des ordonnées

  • Une droite parallèle à l'axe des ordonnées a une équation de la forme \(x = a\), où \(a\) est une constante.
  • Une droite non parallèle à l'axe des ordonnées a une équation de la forme \(y = mx + p\), où \(m \neq 0\) et \(p\) est l'ordonnée à l'origine.

Exercice

Soit la droite \(d\) d'équation \(y = 3x + 2\).

  1. Déterminez la pente de la droite.
  2. Trouvez l'ordonnée à l'origine de la droite.
  3. Écrivez l'équation de la droite parallèle à \(d\) passant par le point \(A(1, 4)\).

Résolution

1. Pente de la droite :

L'équation de la droite est \(y = 3x + 2\), donc la pente \(m\) est le coefficient devant \(x\), ici \(m = 3\). La pente de la droite est donc \(3\).

2. Ordonnée à l'origine :

L'ordonnée à l'origine est le terme constant de l'équation \(y = 3x + 2\), soit \(p = 2\). L'ordonnée à l'origine de la droite est donc \(2\).

3. Équation de la droite parallèle passant par \(A(1, 4)\) :

Une droite parallèle à \(d\) aura la même pente que \(d\), c'est-à-dire \(m = 3\). Pour déterminer l'ordonnée à l'origine de cette nouvelle droite, on utilise le point \(A(1, 4)\) et l'équation de la droite \(y = mx + p\). En remplaçant \(x = 1\) et \(y = 4\), on obtient :

\(4 = 3 \times 1 + p\)

Ce qui donne :

\(4 = 3 + p\)

\(p = 4 - 3 = 1\)

L'équation de la droite parallèle à \(d\) passant par \(A(1, 4)\) est donc :

\(y = 3x + 1\)

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Résolution d'un système d'équations et lien avec l'intersection de deux droites

Un système d'équations est un ensemble d'équations avec des inconnues communes. L'objectif est de déterminer les valeurs de ces inconnues qui satisfont toutes les équations du système simultanément.

Système à deux équations à deux inconnues : Le système est généralement de la forme :

\[ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} \]

Le but est de trouver les valeurs de \(x\) et \(y\) qui satisfont simultanément ces deux équations.

Méthodes de résolution :

  • Méthode de substitution : On résout une des équations pour une variable, puis on remplace cette expression dans l'autre équation pour obtenir une équation à une seule variable.
  • Méthode de combinaison : On additionne ou soustrait les équations de manière à éliminer une variable, ce qui permet de résoudre facilement le système.

Lien avec l'intersection de deux droites :

  • Chaque équation représente une droite dans le plan. Résoudre un système d'équations revient à trouver le point d'intersection des deux droites :
    • Si les droites sont parallèles, il n'y a pas de solution.
    • Si les droites sont sécantes, le système a une solution unique, correspondant aux coordonnées du point d'intersection.
    • Si les droites sont confondues, il y a une infinité de solutions.

Exercice

Résolvons le système suivant :

\[ \begin{cases} 2x + 3y = 12 \\ 4x - y = 6 \end{cases} \]

Résolution

1. Résolvons la deuxième équation pour \(y\) :

\[ 4x - y = 6 \quad \Rightarrow \quad y = 4x - 6 \]

2. Substituons cette expression de \(y\) dans la première équation :

\[ 2x + 3(4x - 6) = 12 \]

3. Développons le côté gauche :

\[ 2x + 12x - 18 = 12 \]

4. Regroupons les termes similaires :

\[ 14x - 18 = 12 \]

5. Ajoutons 18 des deux côtés pour isoler les termes en \(x\) :

\[ 14x = 30 \]

6. Divisons les deux côtés par 14 pour résoudre pour \(x\) :

\[ x = \frac{30}{14} = \frac{15}{7} \]

7. Substituons \(x = \frac{15}{7}\) dans l'expression de \(y\) :

\[ y = 4\left(\frac{15}{7}\right) - 6 = \frac{60}{7} - 6 = \frac{60}{7} - \frac{42}{7} = \frac{18}{7} \]

Solution : La solution du système est :

\[ x = \frac{15}{7}, \quad y = \frac{18}{7} \]

Cela correspond au point d'intersection des deux droites.

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Capacités attendues

  • Identifier et utiliser un vecteur directeur pour une droite donnée.
  • Écrire l'équation cartésienne d'une droite à partir de ses coordonnées ou d'un vecteur directeur.
  • Écrire l'équation réduite d'une droite et déterminer sa pente.
  • Reconnaître les droites parallèles et non parallèles à l'axe des ordonnées à partir de leurs équations.
  • Résoudre un système d'équations linéaires pour déterminer l'intersection de deux droites.
  • Appliquer les méthodes de substitution et de combinaison pour résoudre un système d'équations.