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Variables aléatoires

Variables Aléatoires Discrètes

Une variable aléatoire est une fonction qui associe à chaque événement d'un espace de probabilité un nombre réel. Elle permet de quantifier les résultats d'une expérience aléatoire.

Définition d'une variable aléatoire

Une variable aléatoire discrète est dite discrète si elle ne prend qu'un nombre fini ou dénombrable de valeurs. Chaque valeur est associée à une probabilité qui indique la chance que cette valeur soit réalisée.

La loi de probabilité d'une variable aléatoire discrète \( X \) peut être représentée par un tableau récapitulatif des valeurs possibles et des probabilités associées.

Valeur \( x_i \) Probabilité \( P(X = x_i) \)
1 0,2
2 0,5
3 0,3

La somme de toutes les probabilités doit être égale à 1 :

\(\sum_{i} P(X = x_i) = 1\)

Exercice

On considère une variable aléatoire discrète \( X \) qui prend les valeurs \( 1, 2, 3 \) avec les probabilités respectives suivantes :

Valeur \( x_i \) Probabilité \( P(X = x_i) \)
1 0,2
2 0,5
3 0,3
  1. Vérifiez si ces probabilités forment une loi de probabilité valide.
  2. Calculez la probabilité que \( X \) prenne une valeur supérieure à \( 1 \).

Résolution

1. Vérification de la loi de probabilité :

Nous devons vérifier que la somme des probabilités est égale à 1 :

\(P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) = 0,2 + 0,5 + 0,3 = 1\)

La loi de probabilité est valide car la somme est égale à 1.

2. Calcul de la probabilité que \( X \) prenne une valeur supérieure à \( 1 \) :

Nous cherchons \( P(X > 1) \). Cela inclut les valeurs \( 2 \) et \( 3 \).

\(P(X > 1) = P(X = 2) + P(X = 3) = 0,5 + 0,3 = 0,8\)

Donc, la probabilité que \( X \) prenne une valeur supérieure à \( 1 \) est de \( 0,8 \).

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Paramètres d'une variable aléatoire discrète

Une variable aléatoire discrète est souvent caractérisée par ses paramètres, parmi lesquels l'espérance, la variance et l'écart-type. Ces paramètres fournissent des informations essentielles sur la distribution de la variable aléatoire.

Espérance

L'espérance d'une variable aléatoire discrète \(X\) est définie comme la somme des produits de chaque valeur possible de \(X\) par sa probabilité associée. Elle représente la valeur moyenne attendue de la variable aléatoire.

\[ E(X) = \sum_{i} x_i \times P(X = x_i) \]

Variance

La variance d'une variable aléatoire discrète \(X\) mesure la dispersion de ses valeurs par rapport à l'espérance. Elle est calculée comme la moyenne des carrés des écarts entre chaque valeur et l'espérance.

\[ Var(X) = E((X - E(X))^2) = \sum_{i} (x_i - E(X))^2 \times P(X = x_i) \]

Écart-type

L'écart-type est la racine carrée de la variance. Il fournit une mesure de la dispersion dans les mêmes unités que la variable elle-même.

\[ \sigma(X) = \sqrt{Var(X)} \]

Tableau récapitulatif des paramètres

Paramètre Formule Interprétation
Espérance \(E(X) = \sum_{i} x_i \times P(X = x_i)\) Valeur moyenne attendue de \(X\)
Variance \(Var(X) = \sum_{i} (x_i - E(X))^2 \times P(X = x_i)\) Dispersion des valeurs autour de \(E(X)\)
Écart-type \(\sigma(X) = \sqrt{Var(X)}\) Mesure de la dispersion dans les mêmes unités que \(X\)

Exercice

Soit une variable aléatoire discrète \(X\) qui peut prendre les valeurs suivantes avec leurs probabilités respectives :

\(x_i\) 1 2 3 4
\(P(X = x_i)\) 0.1 0.3 0.4 0.2

1. Calculez l'espérance \(E(X)\).

2. Calculez la variance \(Var(X)\).

3. Calculez l'écart-type \(\sigma(X)\).

Résolution

1. Calcul de l'espérance \(E(X)\)

\[ E(X) = \sum_{i} x_i \times P(X = x_i) = 1 \times 0.1 + 2 \times 0.3 + 3 \times 0.4 + 4 \times 0.2 \]

Calcul des termes :

\[ E(X) = 0.1 + 0.6 + 1.2 + 0.8 = 2.7 \]

Ainsi, \(E(X) = 2.7\).

2. Calcul de la variance \(Var(X)\)

D'abord, nous devons calculer \(E(X^2)\) :

\[ E(X^2) = \sum_{i} x_i^2 \times P(X = x_i) = 1^2 \times 0.1 + 2^2 \times 0.3 + 3^2 \times 0.4 + 4^2 \times 0.2 \]

Calcul des termes :

\[ E(X^2) = 0.1 + 1.2 + 3.6 + 3.2 = 5.1 \]

Maintenant, nous pouvons calculer la variance :

\[ Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = 5.1 - (2.7)^2 = 5.1 - 7.29 = -2.19 \]

Cependant, il est évident qu'il y a une erreur. Reprenons :

\[ Var(X) = \sum_{i} (x_i - E(X))^2 \times P(X = x_i) \]

Calculons chaque terme :

  • Pour \(x_1 = 1\) : \((1 - 2.7)^2 \times 0.1 = 2.89 \times 0.1 = 0.289\)
  • Pour \(x_2 = 2\) : \((2 - 2.7)^2 \times 0.3 = 0.49 \times 0.3 = 0.147\)
  • Pour \(x_3 = 3\) : \((3 - 2.7)^2 \times 0.4 = 0.09 \times 0.4 = 0.036\)
  • Pour \(x_4 = 4\) : \((4 - 2.7)^2 \times 0.2 = 1.69 \times 0.2 = 0.338\)

Additionnons les variances :

\[ Var(X) = 0.289 + 0.147 + 0.036 + 0.338 = 0.810 \]

Ainsi, \(Var(X) = 0.810\).

3. Calcul de l'écart-type \(\sigma(X)\)

\[ \sigma(X) = \sqrt{Var(X)} = \sqrt{0.810} \approx 0.901 \]

Résultats :

  • \(E(X) = 2.7\)
  • \(Var(X) = 0.810\)
  • \(\sigma(X) \approx 0.901\)
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Capacités attendues

  • Comprendre et définir une variable aléatoire discrète.
  • Interpréter une loi de probabilité associée à une variable aléatoire.
  • Calculer l'espérance d'une variable aléatoire discrète.
  • Déterminer la variance et l'écart-type d'une variable aléatoire.
  • Analyser des tableaux de distribution de probabilité.
  • Appliquer les concepts de probabilité à des situations concrètes.
  • Utiliser les notions d'espérance, de variance et d'écart-type pour comparer des variables aléatoires.