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Trigonométrie

Cercle trigonométrique et conversion degré-radians

Le cercle trigonométrique est un outil fondamental en trigonométrie qui permet de définir les fonctions trigonométriques. Il s'agit d'un cercle de rayon 1 centré à l'origine du plan cartésien.

Cercle trigonométrique

Cercle de rayon 1, centré à l'origine (0,0) du plan cartésien.

Angle en radians

Mesure de l'angle correspondant à une rotation dans le sens anti-horaire sur le cercle trigonométrique.

Conversion degré-radians

Pour convertir un angle de degrés (°) en radians (rad), on utilise la relation : \[ \text{radians} = \frac{\pi}{180} \times \text{degrés} \]

Angles notables

Voici quelques angles notables et leurs conversions entre degrés et radians :

  • 0° = 0 rad
  • 30° = \(\frac{\pi}{6}\) rad
  • 45° = \(\frac{\pi}{4}\) rad
  • 60° = \(\frac{\pi}{3}\) rad
  • 90° = \(\frac{\pi}{2}\) rad

Exercice

Convertir les angles suivants en radians :

  1. 15°
  2. 75°
  3. 120°
  4. 150°
  5. 210°

Résolution

1. Pour 15° : \[ \text{radians} = \frac{\pi}{180} \times 15 = \frac{15\pi}{180} = \frac{\pi}{12} \, \text{rad} \]

2. Pour 75° : \[ \text{radians} = \frac{\pi}{180} \times 75 = \frac{75\pi}{180} = \frac{5\pi}{12} \, \text{rad} \]

3. Pour 120° : \[ \text{radians} = \frac{\pi}{180} \times 120 = \frac{120\pi}{180} = \frac{2\pi}{3} \, \text{rad} \]

4. Pour 150° : \[ \text{radians} = \frac{\pi}{180} \times 150 = \frac{150\pi}{180} = \frac{5\pi}{6} \, \text{rad} \]

5. Pour 210° : \[ \text{radians} = \frac{\pi}{180} \times 210 = \frac{210\pi}{180} = \frac{7\pi}{6} \, \text{rad} \]

Les conversions des angles en radians sont donc :

  • 15° = \(\frac{\pi}{12}\) rad
  • 75° = \(\frac{5\pi}{12}\) rad
  • 120° = \(\frac{2\pi}{3}\) rad
  • 150° = \(\frac{5\pi}{6}\) rad
  • 210° = \(\frac{7\pi}{6}\) rad
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Enroulement de la droite des réels sur le cercle trigonométrique

Le cercle trigonométrique est un outil fondamental en trigonométrie qui permet de visualiser les relations entre les angles et les valeurs des fonctions trigonométriques. L'enroulement de la droite des réels sur le cercle trigonométrique signifie que chaque valeur réelle peut être associée à un point sur le cercle, en utilisant une mesure angulaire.

Pour convertir un angle en radians, nous utilisons la relation suivante :

  • 1 tour complet (360 degrés) équivaut à \(2\pi\) radians.
  • Pour convertir des degrés en radians, on utilise la formule : \[ \text{radians} = \text{degrés} \times \frac{\pi}{180} \]

Les angles notables et leurs équivalents en radians sont les suivants :

  • 0° = 0 rad
  • 30° = \(\frac{\pi}{6}\) rad
  • 45° = \(\frac{\pi}{4}\) rad
  • 60° = \(\frac{\pi}{3}\) rad
  • 90° = \(\frac{\pi}{2}\) rad

Exercice

Convertissez les angles suivants en radians :

  1. 180°
  2. 270°
  3. 120°

Résolution

Pour chaque angle, nous utiliserons la formule de conversion :

1. Pour 180° :

\[ 180° \times \frac{\pi}{180} = \pi \text{ rad} \]

2. Pour 270° :

\[ 270° \times \frac{\pi}{180} = \frac{3\pi}{2} \text{ rad} \]

3. Pour 120° :

\[ 120° \times \frac{\pi}{180} = \frac{2\pi}{3} \text{ rad} \]
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Cosinus et sinus dans le cercle trigonométrique

Le cercle trigonométrique permet de définir les fonctions cosinus et sinus pour tous les angles. Considérons un angle \( \theta \) mesuré en radians sur ce cercle.

Définition du sinus et du cosinus

  • Cosinus : Pour un angle \( \theta \), le cosinus est défini comme l'abscisse du point \( A \) correspondant à l'angle \( \theta \) sur le cercle trigonométrique.
  • Sinus : Pour un angle \( \theta \), le sinus est défini comme l'ordonnée du point \( A \) correspondant à l'angle \( \theta \) sur le cercle trigonométrique.
Angle \( \theta \) \( \cos(\theta) \) \( \sin(\theta) \)
0 0 1 0
\( \frac{\pi}{6} \) 30° \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) \( \frac{1}{2} \)
\( \frac{\pi}{4} \) 45° \( \frac{\sqrt{2}}{2} \) \( \frac{\sqrt{2}}{2} \)
\( \frac{\pi}{3} \) 60° \( \frac{1}{2} \) \( \frac{\sqrt{3}}{2} \)
\( \frac{\pi}{2} \) 90° 0 1
\( \pi \) 180° -1 0
\( \frac{3\pi}{2} \) 270° 0 -1
\( 2\pi \) 360° 1 0

Propriétés du cosinus et du sinus

  • Le cosinus est une fonction paire, ce qui signifie que \( \cos(-\theta) = \cos(\theta) \).
  • Le sinus est une fonction impaire, ce qui signifie que \( \sin(-\theta) = -\sin(\theta) \).

Exercice

Déterminer les valeurs de \( \cos(\theta) \) et \( \sin(\theta) \) pour les angles suivants : \( \theta = \frac{3\pi}{4} \), \( \theta = \frac{5\pi}{6} \), \( \theta = \pi \), \( \theta = \frac{7\pi}{4} \), et \( \theta = \frac{3\pi}{2} \).

Résolution

  1. Pour \( \theta = \frac{3\pi}{4} \) :
    • \( \theta \) se situe dans le deuxième quadrant.
    • \( \cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \)
    • \( \sin\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \)
  2. Pour \( \theta = \frac{5\pi}{6} \) :
    • \( \theta \) se situe également dans le deuxième quadrant.
    • \( \cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \)
    • \( \sin\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \frac{1}{2} \)
  3. Pour \( \theta = \pi \) :
    • \( \theta \) se situe sur l'axe négatif des abscisses.
    • \( \cos(\pi) = -1 \)
    • \( \sin(\pi) = 0 \)
  4. Pour \( \theta = \frac{7\pi}{4} \) :
    • \( \theta \) se situe dans le quatrième quadrant.
    • \( \cos\left(\frac{7\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \)
    • \( \sin\left(\frac{7\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \)
  5. Pour \( \theta = \frac{3\pi}{2} \) :
    • \( \theta \) se situe sur l'axe négatif des ordonnées.
    • \( \cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 0 \)
    • \( \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -1 \)

Résumé des résultats :

Angle \( \theta \) \( \cos(\theta) \) \( \sin(\theta) \)
\( \frac{3\pi}{4} \) 135° - \( \frac{\sqrt{2}}{2} \) \( \frac{\sqrt{2}}{2} \)
\( \frac{5\pi}{6} \) 150° - \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) \( \frac{1}{2} \)
\( \pi \) 180° -1 0
\( \frac{7\pi}{4} \) 315° \( \frac{\sqrt{2}}{2} \) - \( \frac{\sqrt{2}}{2} \)
\( \frac{3\pi}{2} \) 270° 0 -1
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Fonctions cosinus et sinus, périodicité et parité

Les fonctions cosinus et sinus sont essentielles en trigonométrie, définies sur l'ensemble des réels et présentant des propriétés spécifiques.

Fonction cosinus

Pour un angle $\theta$, la fonction cosinus, notée $\cos$, correspond à la coordonnée $x$ du point d'intersection de la droite associée à l'angle $\theta$ avec le cercle trigonométrique.

Fonction sinus

Pour un angle $\theta$, la fonction sinus, notée $\sin$, correspond à la coordonnée $y$ du point d'intersection de la droite associée à l'angle $\theta$ avec le cercle trigonométrique.

Propriétés des fonctions cosinus et sinus

  • Périodicité : Les fonctions cosinus et sinus sont périodiques avec une période de $2\pi$. En d'autres termes : $\forall \theta \in \mathbb{R}, \cos(\theta + 2\pi) = \cos(\theta)$ et $\sin(\theta + 2\pi) = \sin(\theta)$.
  • Parité : La fonction cosinus est paire : $\forall \theta \in \mathbb{R}, \cos(-\theta) = \cos(\theta)$. La fonction sinus est impaire : $\forall \theta \in \mathbb{R}, \sin(-\theta) = -\sin(\theta)$.

La périodicité signifie que ces fonctions se répètent à intervalles réguliers, ce qui permet de déterminer des valeurs pour des angles supplémentaires.

Exercice

Soit l'angle $\theta = \frac{3\pi}{2}$. Calculez les valeurs de $\cos(\theta)$ et $\sin(\theta)$, et vérifiez la périodicité et la parité.

Résolution

  1. Calcul des valeurs :
    • Pour $\cos\left(\frac{3\pi}{2}\right)$ : À $270^\circ$ (soit $\frac{3\pi}{2}$ radians), la coordonnée $x$ est $0$. Donc, $\cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 0$.
    • Pour $\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right)$ : À $270^\circ$, la coordonnée $y$ est $-1$. Donc, $\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -1$.
  2. Vérification de la périodicité :

    En ajoutant $2\pi$ :

    $\cos\left(\frac{3\pi}{2} + 2\pi\right) = \cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 0$

    $\sin\left(\frac{3\pi}{2} + 2\pi\right) = \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -1$

  3. Vérification de la parité :

    $\cos\left(-\frac{3\pi}{2}\right) = \cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 0$

    $\sin\left(-\frac{3\pi}{2}\right) = -\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 1$

Ainsi, pour l'angle $\theta = \frac{3\pi}{2}$, les valeurs obtenues sont $\cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 0$ et $\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -1$, confirmant les propriétés de périodicité et de parité des fonctions cosinus et sinus.

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Capacités attendues

  • Comprendre et utiliser le cercle trigonométrique pour représenter les fonctions trigonométriques.
  • Convertir des angles entre degrés et radians.
  • Identifier et utiliser les points-images remarquables sur le cercle trigonométrique.
  • Déterminer les valeurs des fonctions cosinus et sinus pour des angles remarquables.
  • Analyser les propriétés de périodicité et de parité des fonctions cosinus et sinus.
  • Appliquer les concepts de trigonométrie dans des problèmes géométriques et algébriques.