Suites numériques

Définition d'une suite

Une suite est une fonction dont le domaine est l'ensemble des entiers naturels, et qui associe à chaque entier naturel un élément d'un ensemble donné. On note une suite de la manière suivante :

$$ (u_n)_{n \in \mathbb{N}} \text{ ou } (u_n) $$

où $ n $ représente l'indice de la suite.

Formule explicite

La formule explicite d'une suite permet de calculer directement le terme $ u_n $ en fonction de $ n $.

Formule par récurrence

La formule par récurrence définit chaque terme de la suite en fonction du terme précédent. On exprime généralement cela par :

$$ \begin{cases} u_0 = c \\ u_{n+1} = f(u_n) \end{cases} $$

où $ c $ est une constante initiale et $ f $ est une fonction qui relie $ u_n $ à $ u_{n+1} $.

Notion de suite

Fonction $ (u_n)_{n \in \mathbb{N}} $

Formule explicite

Formule permettant de calculer $ u_n $ en fonction de $ n $

Formule par récurrence

$$ u_0 = c ; u_{n+1} = f(u_n) $$

Exercice résolu

Exercice

Soit la suite définie par la formule explicite suivante :

$$ u_n = 3n + 2 $$

Calculez $ u_0 $, $ u_1 $, $ u_2 $, et $ u_3 $.
Écrivez la formule de la suite par récurrence.

Résolution

Calculons les termes de la suite :

Pour $ n = 0 $ :
$$ u_0 = 3 \times 0 + 2 = 2 $$
Pour $ n = 1 $ :
$$ u_1 = 3 \times 1 + 2 = 3 + 2 = 5 $$
Pour $ n = 2 $ :
$$ u_2 = 3 \times 2 + 2 = 6 + 2 = 8 $$
Pour $ n = 3 $ :
$$ u_3 = 3 \times 3 + 2 = 9 + 2 = 11 $$

Les valeurs des termes sont donc :

$$ u_0 = 2, \quad u_1 = 5, \quad u_2 = 8, \quad u_3 = 11 $$

Maintenant, écrivons la formule de la suite par récurrence. On observe que pour obtenir le terme suivant, on peut exprimer :

$$ \begin{cases} u_0 = 2 \\ u_{n+1} = u_n + 3 \end{cases} $$

Ainsi, la suite est définie par $ u_0 = 2 $ et $ u_{n+1} = u_n + 3 $.

Suites arithmétiques

Une suite arithmétique est une suite de nombres dans laquelle la différence entre deux termes consécutifs est constante. Cette constante est appelée la raison de la suite. On peut définir une suite arithmétique de plusieurs manières :

Formule explicite : On peut exprimer le terme $ u_n $ de la suite en fonction de l'indice $ n $. La formule explicite d'une suite arithmétique est donnée par : $$ u_n = u_0 + n \times r $$ où $ u_0 $ est le premier terme de la suite et $ r $ est la raison.
Formule par récurrence : Une suite arithmétique peut également être définie par récurrence. On peut écrire : $$ \begin{cases} u_0 = c \\ u_{n+1} = u_n + r \end{cases} $$ où $ c $ est la valeur du premier terme et $ r $ est la raison.
Somme des premiers termes : La somme des $ n $ premiers termes d'une suite arithmétique peut être calculée grâce à la formule : $$ S_n = \frac{n}{2} \times (u_0 + u_n) $$ ou encore en utilisant la raison : $$ S_n = \frac{n}{2} \times \left(2u_0 + (n-1)r\right) $$
Somme des premiers entiers : La somme des entiers de 1 à $ n $ est donnée par la formule : $$ S = \frac{n(n + 1)}{2} $$

Voici un tableau récapitulatif :

Notion	Expression
Suite arithmétique	$ u_n = u_0 + n \times r $
Formule par récurrence	$ \begin{cases} u_0 = c \\ u_{n+1} = u_n + r \end{cases} $
Somme des $ n $ premiers termes	$ S_n = \frac{n}{2} \times (u_0 + u_n) $ ou $ S_n = \frac{n}{2} \times (2u_0 + (n-1)r) $
Somme des premiers entiers	$ S = \frac{n(n + 1)}{2} $

Exercice

Soit la suite arithmétique définie par :

Premier terme : $ u_0 = 5 $
Raison : $ r = 3 $

1. Calculez les termes $ u_1, u_2, $ et $ u_3 $.

2. Calculez la somme des 4 premiers termes de la suite.

Résolution

1. Calculons les termes de la suite :

Pour $ n = 1 $ : $$ u_1 = u_0 + r = 5 + 3 = 8 $$
Pour $ n = 2 $ : $$ u_2 = u_1 + r = 8 + 3 = 11 $$
Pour $ n = 3 $ : $$ u_3 = u_2 + r = 11 + 3 = 14 $$

Les termes calculés sont :

$ u_1 = 8 $
$ u_2 = 11 $
$ u_3 = 14 $

2. Calculons la somme des 4 premiers termes $ S_4 $ :

Les premiers termes sont $ u_0 = 5, u_1 = 8, u_2 = 11, u_3 = 14 $.

Calcul de $ S_4 $ :

$$ S_4 = u_0 + u_1 + u_2 + u_3 $$ $$ S_4 = 5 + 8 + 11 + 14 $$ $$ S_4 = 38 $$

La somme des 4 premiers termes de la suite arithmétique est donc $ S_4 = 38 $.

Séquences géométriques

Une suite géométrique est une suite de nombres dans laquelle chaque terme est obtenu en multipliant le terme précédent par une constante appelée le rapport de la suite. Soit $ (u_n) $ une suite géométrique de premier terme $ u_0 $ et de rapport $ q $. Les termes de la suite peuvent être exprimés comme suit :

Premier terme : $ u_0 $
Deuxième terme : $ u_1 = u_0 \times q $
Troisième terme : $ u_2 = u_0 \times q^2 $
Quatrième terme : $ u_3 = u_0 \times q^3 $

En général, le $ n $-ième terme d'une suite géométrique peut être exprimé par la formule :

\[ u_n = u_0 \times q^n \]

La somme des $ n $ premiers termes d'une suite géométrique est donnée par la formule :

\[ S_n = u_0 \times \frac{1 - q^n}{1 - q} \quad (q \neq 1) \]

Définition de la suite géométrique

Une suite géométrique est une suite de nombres dans laquelle chaque terme après le premier est obtenu en multipliant le terme précédent par une constante non nulle appelée le rapport.

Exercice

Soit une suite géométrique dont le premier terme est $ u_0 = 2 $ et le rapport est $ q = 3 $. Calculez les quatre premiers termes de cette suite et la somme de ces quatre termes.

Résolution

Les quatre premiers termes de la suite sont :

Premier terme : $ u_0 = 2 $
Deuxième terme : $ u_1 = u_0 \times q = 2 \times 3 = 6 $
Troisième terme : $ u_2 = u_0 \times q^2 = 2 \times 3^2 = 2 \times 9 = 18 $
Quatrième terme : $ u_3 = u_0 \times q^3 = 2 \times 3^3 = 2 \times 27 = 54 $

Donc, les quatre premiers termes sont $ 2, 6, 18, 54 $.

Pour calculer la somme des quatre premiers termes, nous avons :

\[ S_4 = u_0 + u_1 + u_2 + u_3 = 2 + 6 + 18 + 54 \]

\[ S_4 = 80 \]

La somme des quatre premiers termes de la suite géométrique est donc $ S_4 = 80 $.

Analyse du sens de variation des suites numériques

Le sens de variation d'une suite numérique est une notion fondamentale pour analyser le comportement des suites. Cette analyse permet de déterminer si la suite est croissante, décroissante ou constante.

Taux de variation entre deux termes consécutifs

Soit $ (u_n) $ une suite. Le taux de variation entre deux termes consécutifs $ u_n $ et $ u_{n+1} $ est donné par :

\[ \Delta u_n = u_{n+1} - u_n \]

Si $ \Delta u_n > 0 $, alors $ (u_n) $ est croissante entre $ n $ et $ n+1 $.
Si $ \Delta u_n < 0 $, alors $ (u_n) $ est décroissante entre $ n $ et $ n+1 $.
Si $ \Delta u_n = 0 $, alors $ (u_n) $ est constante entre $ n $ et $ n+1 $.

Pour les suites positives, il est également possible d'utiliser la méthode du quotient pour analyser le sens de variation.

Méthode du quotient pour les suites positives

Soit $ (u_n) $ une suite de termes positifs. On définit le quotient suivant :

\[ q_n = \frac{u_{n+1}}{u_n} \]

Si $ q_n > 1 $, alors la suite est croissante entre $ n $ et $ n+1 $.
Si $ q_n < 1 $, alors la suite est décroissante entre $ n $ et $ n+1 $.
Si $ q_n = 1 $, alors la suite est constante entre $ n $ et $ n+1 $.

Voici comment se comporte le sens de variation pour les suites arithmétiques et géométriques :

Sens de variation des suites arithmétiques

Une suite arithmétique est de la forme $ u_n = u_1 + (n-1) \cdot r $, où $ r $ est la raison de la suite.

Si $ r > 0 $, alors la suite est croissante.
Si $ r < 0 $, alors la suite est décroissante.
Si $ r = 0 $, alors la suite est constante.

Sens de variation des suites géométriques

Une suite géométrique est de la forme $ u_n = u_1 \cdot q^{n-1} $, où $ q $ est la raison de la suite.

Si $ q > 1 $, alors la suite est croissante.
Si $ 0 < q < 1 $, alors la suite est décroissante.
Si $ q = 1 $, alors la suite est constante.

Exercice

Soit la suite arithmétique définie par $ u_n = 5 + (n-1) \cdot 3 $. Déterminez le sens de variation de cette suite entre deux termes consécutifs $ u_n $ et $ u_{n+1} $.

Résolution

Calculons le taux de variation entre deux termes consécutifs :

\[ \Delta u_n = u_{n+1} - u_n = \left(5 + n \cdot 3\right) - \left(5 + (n-1) \cdot 3\right) \]

En simplifiant, nous avons :

\[ \Delta u_n = 5 + 3n - 5 - 3n + 3 = 3 \]

Comme $ \Delta u_n > 0 $, la suite $ (u_n) $ est croissante entre $ n $ et $ n+1 $.

Vérifions également avec la méthode du quotient :

Pour une suite arithmétique, cette méthode n'est pas applicable. Toutefois, nous pouvons dire que, par définition, puisque la raison $ r = 3 > 0 $, la suite est croissante.

La Limite des Suites Numériques

La limite d'une suite numérique est un concept fondamental qui décrit le comportement des termes d'une suite lorsque $ n $ devient très grand.

Nous nous intéressons à savoir vers quel nombre $ L $ les termes d'une suite $ (u_n) $ se rapprochent à mesure que $ n $ augmente. Pour certaines suites, ce nombre peut être un réel, tandis que pour d'autres, la suite peut diverger, c'est-à-dire que les termes ne se rapprochent pas d'un nombre fixe.

Cas des suites convergentes

Exemple 1 :

Pour la suite $ (u_n) $ définie par $ u_n = \frac{1}{n} $, les premiers termes sont $ 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \ldots $. On observe que ces valeurs diminuent et se rapprochent de 0. À mesure que $ n $ devient très grand, $ u_n $ se rapproche de 0. On dit que la suite converge vers 0.

Exemple 2 :

Une autre suite est $ u_n = 2 - \frac{1}{n} $. Les termes commencent à 1, 1.5, 1.67, etc. À mesure que $ n $ augmente, $ u_n $ se rapproche de 2. On dit que cette suite converge vers 2.

Cas des suites divergentes

Exemple 3 :

Considérons la suite $ v_n = n $. Les premiers termes de cette suite sont $ 1, 2, 3, 4, \ldots $. À mesure que $ n $ augmente, les termes de la suite deviennent de plus en plus grands, tendant vers l'infini. On dit que cette suite diverge vers l'infini.

Exemple 4 :

Une autre suite, comme $ w_n = (-1)^n $, oscille entre -1 et 1. Dans ce cas, les termes ne se rapprochent d'aucun nombre fixe, donc cette suite n'a pas de limite.

Exercice

Soit la suite définie par $ u_n = \frac{3n + 1}{n} $. Déterminez la limite de la suite $ (u_n) $ lorsque $ n $ tend vers l'infini.

Résolution

Pour déterminer la limite de la suite $ (u_n) $, nous simplifions l'expression de $ u_n $ :

$ u_n = \frac{3n + 1}{n} = \frac{3n}{n} + \frac{1}{n} = 3 + \frac{1}{n} $

Examinons maintenant ce que devient $ u_n $ lorsque $ n $ augmente. À mesure que $ n $ augmente, $ \frac{1}{n} $ tend vers 0. Par conséquent :

$ \lim_{n \to \infty} u_n = 3 + 0 = 3 $

Ainsi, la limite de la suite $ (u_n) $ lorsque $ n $ tend vers l'infini est :

$ \lim_{n \to \infty} u_n = 3 $

Capacités attendues

Comprendre et appliquer la définition de la dérivation globale des fonctions.
Savoir calculer la dérivée d'une fonction à partir de sa définition.
Être capable de déterminer les dérivées des fonctions usuelles (constantes, affines, puissances).
Connaître les propriétés des dérivées et leur application dans le calcul de variations.
Être familiarisé avec les opérations sur les fonctions dérivables et leurs implications.
Utiliser des tableaux de variations pour analyser les fonctions à partir de leurs dérivées.
Comprendre le concept de suites numériques et leurs limites.
Déterminer la limite d'une suite numérique et identifier les cas de convergence ou de divergence.
Être capable de résoudre des exercices impliquant le calcul de dérivées et la détermination de limites de suites.

Crédits

Librairies :

Notion	Expression
Suite arithmétique	\( u_n = u_0 + n \times r \)
Formule par récurrence	\( \begin{cases} u_0 = c \\ u_{n+1} = u_n + r \end{cases} \)
Somme des \( n \) premiers termes	\( S_n = \frac{n}{2} \times (u_0 + u_n) \) ou \( S_n = \frac{n}{2} \times (2u_0 + (n-1)r) \)
Somme des premiers entiers	\( S = \frac{n(n + 1)}{2} \)