Produit scalaire

Calcul du produit scalaire et colinéarité

Le produit scalaire est une opération fondamentale dans le calcul vectoriel. Il permet de relier les notions d'angles entre vecteurs et de colinéarité.

Définition du produit scalaire

Soit \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) deux vecteurs de l’espace euclidien. Le produit scalaire de \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\), noté \(\vec{u} \cdot \vec{v}\), est défini comme suit :

\(\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos(\theta)\)

\(\|\vec{u}\|\) est la norme du vecteur \(\vec{u}\),
\(\|\vec{v}\|\) est la norme du vecteur \(\vec{v}\),
\(\theta\) est l'angle compris entre les vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\).

Deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont dits colinéaires si et seulement s'il existe un réel \(\lambda\) tel que \(\vec{u} = \lambda \vec{v}\). Dans ce cas, l'angle \(\theta\) entre eux est \(0\) ou \(180\) degrés, ce qui implique que :

\(\cos(\theta) = 1\) ou \(\cos(\theta) = -1\)

Cela signifie que le produit scalaire \(\vec{u} \cdot \vec{v}\) est soit positif, soit négatif, mais jamais nul, sauf si l'un des vecteurs est le vecteur nul.

Exemple :

Soit \(\vec{u} = (3, 4)\) et \(\vec{v} = (6, 8)\). Ces vecteurs sont colinéaires car \(\vec{u} = \frac{1}{2} \vec{v}\). L'angle entre eux est \(0\) degré.

Exercice

Soit les vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) tels que \(\|\vec{u}\| = 5\), \(\|\vec{v}\| = 10\) et l'angle entre eux est \(\frac{\pi}{3}\). Calculez le produit scalaire \(\vec{u} \cdot \vec{v}\) et déterminez si ces vecteurs sont colinéaires.

Résolution

Étant donné que l'angle entre les vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) est \(\frac{\pi}{3}\), nous avons :

\(\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}\)

En appliquant la définition du produit scalaire, nous avons :

\(\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\)

En substituant les valeurs, nous obtenons :

\(\vec{u} \cdot \vec{v} = 5 \times 10 \times \frac{1}{2} = 25\)

En vérifiant la colinéarité, l'angle entre les vecteurs étant \(\frac{\pi}{3}\), ils ne sont pas colinéaires, car \(\frac{\pi}{3}\) n'est ni \(0\) ni \(\pi\). Il n'existe donc pas de réel \(\lambda\) tel que \(\vec{u} = \lambda \vec{v}\).

Projection orthogonale et vecteurs orthogonaux

La projection orthogonale d'un vecteur sur un autre vecteur est une opération qui permet de déterminer la composante d'un vecteur le long d'un autre. Cela est particulièrement utile en géométrie et en physique, où l'on s'intéresse souvent aux forces agissant dans des directions spécifiques.

Définition de la projection orthogonale

Soit \( \vec{u} \) et \( \vec{v} \) deux vecteurs non nuls dans un espace vectoriel. La projection orthogonale de \( \vec{u} \) sur \( \vec{v} \), notée \( \text{proj}_{\vec{v}} \vec{u} \), est donnée par la formule :

\( \text{proj}_{\vec{v}} \vec{u} = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\vec{v} \cdot \vec{v}} \vec{v} \)

Cette formule indique que la projection orthogonale est un vecteur qui a la même direction que \( \vec{v} \) et dont la longueur est proportionnelle à la composante de \( \vec{u} \) dans la direction de \( \vec{v} \).

Deux vecteurs \( \vec{u} \) et \( \vec{v} \) sont dits orthogonaux si leur produit scalaire est égal à zéro :

\( \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \)

Cela signifie que les vecteurs forment un angle droit (90 degrés) entre eux. Les vecteurs orthogonaux sont essentiels dans de nombreuses applications, notamment dans la décomposition de vecteurs.

Exercice

Soit \( \vec{u} = (2, 3) \) et \( \vec{v} = (1, 1) \). Calculez la projection orthogonale de \( \vec{u} \) sur \( \vec{v} \) et vérifiez si \( \vec{u} \) et \( \vec{v} \) sont orthogonaux.

Résolution

1. Calcul du produit scalaire \( \vec{u} \cdot \vec{v} \) :

\( \vec{u} \cdot \vec{v} = 2 \times 1 + 3 \times 1 = 2 + 3 = 5 \)

2. Calcul du produit scalaire \( \vec{v} \cdot \vec{v} \) :

\( \vec{v} \cdot \vec{v} = 1 \times 1 + 1 \times 1 = 1 + 1 = 2 \)

3. Calcul de la projection orthogonale \( \text{proj}_{\vec{v}} \vec{u} \) :

\( \text{proj}_{\vec{v}} \vec{u} = \frac{5}{2} \vec{v} = \frac{5}{2} (1, 1) = \left( \frac{5}{2}, \frac{5}{2} \right) \)

4. Vérification de l'orthogonalité :

\( \vec{u} \cdot \vec{v} = 5 \quad \Rightarrow \quad \vec{u} \text{ et } \vec{v} \text{ ne sont pas orthogonaux car } 5 \neq 0 \)

Conclusion: La projection orthogonale de \( \vec{u} \) sur \( \vec{v} \) est \( \left( \frac{5}{2}, \frac{5}{2} \right) \), et les vecteurs \( \vec{u} \) et \( \vec{v} \) ne sont pas orthogonaux.

Produit scalaire des vecteurs

Le produit scalaire, noté \( \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} \), est une opération algébrique qui associe à deux vecteurs \( \mathbf{u} \) et \( \mathbf{v} \) un nombre réel. Ce produit possède plusieurs propriétés intéressantes qui permettent de le calculer sous différentes formes.

Propriétés algébriques du produit scalaire

Commutativité : Pour tous vecteurs \( \mathbf{u} \) et \( \mathbf{v} \), on a \( \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \mathbf{v} \cdot \mathbf{u} \).
Distributivité : Pour tous vecteurs \( \mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w} \), on a \( \mathbf{u} \cdot (\mathbf{v} + \mathbf{w}) = \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} + \mathbf{u} \cdot \mathbf{w} \).
Linéarité : Pour tout vecteur \( \mathbf{u} \) et tout scalaire \( k \), on a \( \mathbf{u} \cdot (k\mathbf{v}) = k(\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}) \).
Liée à la norme : Pour tout vecteur \( \mathbf{u} \), on a \( \mathbf{u} \cdot \mathbf{u} = \|\mathbf{u}\|^2 \).
Orthogonalité : Deux vecteurs \( \mathbf{u} \) et \( \mathbf{v} \) sont orthogonaux si et seulement si \( \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = 0 \).

Le produit scalaire peut être exprimé à l'aide d'identités remarquables. En particulier, nous pouvons utiliser l'identité suivante :

\[ \|\mathbf{u} + \mathbf{v}\|^2 = \|\mathbf{u}\|^2 + \|\mathbf{v}\|^2 + 2(\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}) \]

De plus, on peut établir le lien avec l'identité :

\[ (\mathbf{u} + \mathbf{v})(\mathbf{u} - \mathbf{v}) = \|\mathbf{u}\|^2 - \|\mathbf{v}\|^2 \]

Cette relation met en évidence le lien entre la norme d'une somme et d'une différence de vecteurs, permettant ainsi de déterminer le produit scalaire à partir des normes. Plus précisément, on peut écrire :

\[ \|\mathbf{u} - \mathbf{v}\|^2 = \|\mathbf{u}\|^2 + \|\mathbf{v}\|^2 - 2(\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}) \]

Ces identités sont utiles pour relier les propriétés du produit scalaire aux identités algébriques.

Exercice

Soit les vecteurs \( \mathbf{u} = (3, 4) \) et \( \mathbf{v} = (1, 2) \). Calculez le produit scalaire \( \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} \) en utilisant la méthode des coordonnées et en utilisant les normes.

Résolution

Méthode par les coordonnées : Pour calculer le produit scalaire \( \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} \), nous appliquons la formule par les coordonnées :

\[ \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = x_1 \times x_2 + y_1 \times y_2 \]

En remplaçant par les coordonnées de \( \mathbf{u} \) et \( \mathbf{v} \) :

\[ \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = 3 \times 1 + 4 \times 2 \]

Calculons chaque terme :

\[ 3 \times 1 = 3 \]

\[ 4 \times 2 = 8 \]

Ensuite, nous additionnons ces résultats :

\[ \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = 3 + 8 = 11 \]

Méthode par les normes : Tout d'abord, nous calculons les normes de \( \mathbf{u} \) et \( \mathbf{v} \) :

\[ \|\mathbf{u}\| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \]

\[ \|\mathbf{v}\| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5} \]

Maintenant, nous calculons la norme de \( \mathbf{u} - \mathbf{v} \) :

\[ \mathbf{u} - \mathbf{v} = (3 - 1, 4 - 2) = (2, 2) \]

Donc :

\[ \|\mathbf{u} - \mathbf{v}\|^2 = 2^2 + 2^2 = 4 + 4 = 8 \]

Nous avons aussi :

\[ \|\mathbf{u}\|^2 = 5^2 = 25 \]

\[ \|\mathbf{v}\|^2 = (\sqrt{5})^2 = 5 \]

En remplaçant dans la formule du produit scalaire :

\[ \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \frac{1}{2} \left( 8 + 25 - 5 \right) = \frac{1}{2} \left( 28 \right) = 14 \]

Ainsi, le produit scalaire \( \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} \) est égal à \( 14 \).

Produit scalaire et applications en géométrie

Le produit scalaire a plusieurs applications importantes en géométrie et en trigonométrie. Dans cette section, nous allons aborder trois applications principales : le théorème de la médiane, la formule d'Al-Kashi, et la caractérisation d'un cercle par le produit scalaire.

Théorème de la médiane

Le théorème de la médiane dans un triangle peut être exprimé en utilisant des vecteurs. Soit \( A \), \( B \), et \( C \) les sommets d'un triangle. Soit \( M \) le point milieu du segment \( [BC] \) et \( I \) le point milieu du segment \( [AB] \).

Nous pouvons exprimer le produit scalaire \( \overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} \) entre les vecteurs \( \overrightarrow{MA} \) et \( \overrightarrow{MB} \) en utilisant les coordonnées des points. En utilisant les notations de vecteurs, le théorème nous dit que :

\[ \overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = \| MI \|^2 - \frac{1}{4} \| AB \|^2 \]

où :

\( \| MI \| \) est la distance entre le point \( M \) et le point \( I \) (milieu de \( AB \)),
\( \| AB \| \) est la longueur du segment \( [AB] \).

Cette relation nous permet de calculer le produit scalaire \( \overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} \) en fonction des longueurs des segments.

Formule d'Al-Kashi

La formule d'Al-Kashi est une généralisation du théorème de Pythagore pour les triangles. Elle est exprimée comme suit :

\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\theta) \]

où :

\( a \) et \( b \) sont les longueurs des côtés du triangle,
\( c \) est la longueur du côté opposé à l'angle \( \theta \).

Cette formule relie les longueurs des côtés d'un triangle à l'angle entre deux côtés.

Caractérisation d'un cercle

Un cercle de centre \( O \) et de rayon \( r \) peut être caractérisé dans un espace vectoriel par l'équation suivante :

\[ \forall P \in \mathbb{R}^2, \quad OP \cdot OP = r^2 \]

où \( OP \) est le vecteur allant du centre \( O \) à un point \( P \) du cercle. Cette équation indique que la distance entre le centre du cercle et tout point sur le cercle est constante et égale au rayon.

Exercice

Dans un triangle \( ABC \), les coordonnées des sommets sont \( A(0, 0) \), \( B(6, 0) \) et \( C(3, 4) \). Calculez \( \overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} \), le produit scalaire entre les vecteurs \( \overrightarrow{MA} \) et \( \overrightarrow{MB} \).

Résolution

Calcul des coordonnées des points milieux :
- Le point \( M \) (milieu de \( BC \)) est donné par :
- Le point \( I \) (milieu de \( AB \)) est donné par :
Calcul des vecteurs \( \overrightarrow{MA} \) et \( \overrightarrow{MB} \) :
- Le vecteur \( \overrightarrow{MA} \) est donné par :
- Le vecteur \( \overrightarrow{MB} \) est donné par :
Calcul des normes des vecteurs :
- La norme de \( \overrightarrow{MA} \) est :
- La norme de \( \overrightarrow{MB} \) est :
- La longueur du segment \( [AB] \) est :
Calcul de la distance \( MI \) :
La distance \( MI \) est donnée par :

\[ \| MI \|^2 = \left( \frac{9}{2} - 3 \right)^2 + \left( 2 - 0 \right)^2 = \left( \frac{3}{2} \right)^2 + 2^2 = \frac{9}{4} + 4 = \frac{9}{4} + \frac{16}{4} = \frac{25}{4} \]
Calcul du produit scalaire \( \overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} \) :
En utilisant la formule du théorème de la médiane, nous avons :

\[ \overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = \| MI \|^2 - \frac{1}{4} \| AB \|^2 = \frac{25}{4} - \frac{1}{4} \times 36 = \frac{25}{4} - \frac{36}{4} = -\frac{11}{4} \]

Le produit scalaire \( \overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} \) est donc égal à \( -\frac{11}{4} \).

Capacités attendues

Comprendre et définir le produit scalaire de deux vecteurs.
Établir le lien entre le produit scalaire et la colinéarité des vecteurs.
Effectuer des projections orthogonales de vecteurs.
Utiliser les propriétés algébriques du produit scalaire pour résoudre des problèmes.
Calculer le produit scalaire à partir des coordonnées des vecteurs.
Appliquer le produit scalaire dans des situations géométriques, comme la caractérisation d'un cercle.
Utiliser le théorème de la médiane et la formule d'Al-Kashi pour résoudre des problèmes de géométrie.

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