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Probabilités conditionnelles

Probabilités conditionnelles : Définition et calculs de base

Définition de la probabilité conditionnelle

Soient deux événements \( A \) et \( B \) dans un univers \( \Omega \) tel que \( P(A) \neq 0 \).

La probabilité de \( B \) sachant \( A \), notée \( P_A(B) \), est définie par :

\[ P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} \]

Cette probabilité représente la probabilité de l'événement \( B \) sous la condition que \( A \) est réalisé.

Probabilité de l'intersection d'événements

Si l’on connaît la probabilité de \( B \) sachant \( A \) et la probabilité de \( A \), la probabilité de l’intersection des événements \( A \) et \( B \) est donnée par :

\[ P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B) \]

Probabilité du complémentaire de \( A \)

Si \( \overline{A} \) désigne le complémentaire de \( A \), alors la probabilité de \( \overline{A} \) est donnée par :

\[ P(\overline{A}) = 1 - P(A) \]

Ces éléments permettent de calculer les probabilités conditionnelles ainsi que la probabilité d'intersection ou du complémentaire des événements dans des situations où des informations supplémentaires sont connues.

Exercice

Dans une classe de lycée, on s’intéresse aux élèves qui pratiquent un sport et à ceux qui jouent d’un instrument de musique. On note :

  • \( A \) : l'événement "un élève pratique un sport"
  • \( B \) : l'événement "un élève joue d’un instrument de musique"

On sait que :

  • \( P(A) = 0.6 \)
  • \( P(B) = 0.3 \)
  • \( P(A \cap B) = 0.15 \)
  1. Calcule la probabilité \( P_A(B) \).
  2. Détermine la probabilité qu’un élève ne pratique pas de sport.

Résolution

1. Calcul de \( P_A(B) \)

La probabilité de \( B \) sachant \( A \), notée \( P_A(B) \), est donnée par la formule :

\[ P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} \]

En remplaçant les valeurs connues :

\[ P_A(B) = \frac{0.15}{0.6} = 0.25 \]

Conclusion : La probabilité qu'un élève joue d'un instrument de musique sachant qu'il pratique un sport est \( 0.25 \).

2. Calcul de la probabilité de ne pas pratiquer de sport

La probabilité qu’un élève ne pratique pas de sport est la probabilité du complémentaire de \( A \), soit \( P(\overline{A}) \).

D'après la propriété du complémentaire :

\[ P(\overline{A}) = 1 - P(A) \]

En remplaçant \( P(A) = 0.6 \) :

\[ P(\overline{A}) = 1 - 0.6 = 0.4 \]

Conclusion : La probabilité qu'un élève ne pratique pas de sport est \( 0.4 \).

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Arbres pondérés et calculs de probabilités

Les arbres pondérés sont des outils visuels qui permettent de modéliser des situations où plusieurs événements successifs interviennent. Ils facilitent le calcul des probabilités des différents résultats possibles. Chaque branche de l'arbre est associée à un événement et est pondérée par la probabilité correspondante.

Définition de la probabilité totale

La formule des probabilités totales permet de calculer la probabilité d’un événement en tenant compte de tous les scénarios possibles qui conduisent à cet événement.

Soient deux événements A et B dans un univers donné. Alors, la probabilité totale de B est donnée par :

\[ P(B) = P(A) \times P_A(B) + P(\overline{A}) \times P_{\overline{A}}(B) \]

Exemple :

Considérons une urne contenant des cartes rouges et noires. Supposons que l’on tire deux cartes successivement, en réinsérant la carte tirée à chaque fois. La probabilité de tirer une carte rouge au premier tirage est notée P(A), et la probabilité de tirer une carte rouge au second tirage sachant qu’une carte rouge a été tirée au premier est notée P_A(B). Ces probabilités peuvent être calculées et représentées dans un arbre pondéré.

Exercice

On dispose d'un jeu de cartes où une carte est tirée au hasard, puis replacée, et une deuxième carte est tirée. Soient A l'événement "tirer une carte rouge" et B l'événement "tirer une carte noire". On sait que :

  • La probabilité de A est \( \frac{1}{4} \).
  • \( P_A(B) = \frac{12}{51} \).

Calculer \( P(A \cap B) \) et \( P(B) \) en utilisant la formule des probabilités totales.

Résolution

Étape 1 : Calcul de \( P(A \cap B) \)

On utilise la définition de la probabilité conditionnelle :

\[ P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B) = \frac{1}{4} \times \frac{12}{51} = \frac{12}{204} = \frac{1}{17} \]

Étape 2 : Calcul de \( P(B) \) avec la formule des probabilités totales

\[ P(B) = P(A) \times P_A(B) + P(\overline{A}) \times P_{\overline{A}}(B) \]

En remplaçant les valeurs connues :

\[ P(B) = \frac{1}{4} \times \frac{12}{51} + \frac{3}{4} \times \frac{13}{51} = \frac{12}{204} + \frac{39}{204} = \frac{51}{204} = \frac{1}{4} \]

Conclusion : La probabilité de tirer une carte noire au deuxième tirage est donc \( \frac{1}{4} \), et la probabilité que les deux cartes soient des rouges et noires est de \( \frac{1}{17} \).

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Événements indépendants et succession de deux épreuves indépendantes

Événements indépendants

Deux événements \( A \) et \( B \) sont dits indépendants si la réalisation de l'un n'affecte pas la probabilité de réalisation de l'autre. Mathématiquement, cela se traduit par la condition suivante :

\[ P_A(B) = P(B) \]

Cela signifie que la probabilité de \( B \) sachant \( A \) est égale à la probabilité de \( B \) seule.

Succession de deux épreuves indépendantes

Lorsque nous avons deux épreuves indépendantes, nous pouvons calculer la probabilité de la réalisation de plusieurs événements en utilisant la multiplication des probabilités individuelles.

Soit \( A \) et \( B \) deux événements indépendants, la probabilité que les deux événements se produisent simultanément est donnée par :

\[ P(A \cap B) = P(A) \times P(B) \]

Cette relation peut être étendue à plus de deux événements. Par exemple, pour trois événements \( A \), \( B \), et \( C \) indépendants, nous avons :

\[ P(A \cap B \cap C) = P(A) \times P(B) \times P(C) \]

Exercice

On considère deux événements \( A \) et \( B \) indépendants tels que :

  • \( P(A) = 0,6 \)
  • \( P(B) = 0,4 \)

Calculez la probabilité que les événements \( A \) et \( B \) se produisent simultanément.

Résolution

Pour résoudre cet exercice, nous allons utiliser la formule pour la probabilité de l'intersection de deux événements indépendants :

\[ P(A \cap B) = P(A) \times P(B) \]

En substituant les valeurs données dans la formule :

\[ P(A \cap B) = 0,6 \times 0,4 \]

Calculons :

\[ P(A \cap B) = 0,24 \]

Ainsi, la probabilité que les événements \( A \) et \( B \) se produisent simultanément est \( 0,24 \).

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Capacités attendues

  • Comprendre et utiliser la définition de la probabilité conditionnelle.
  • Appliquer les règles de calcul de l'intersection et du complémentaire en lien avec les probabilités conditionnelles.
  • Construire et interpréter des arbres pondérés pour représenter des situations probabilistes.
  • Appliquer la formule des probabilités totales pour résoudre des problèmes complexes.
  • Reconnaître et définir des événements indépendants.
  • Calculer des probabilités dans des situations de succession de deux épreuves indépendantes.
  • Utiliser des outils mathématiques pour modéliser des phénomènes aléatoires.