Polynômes du second degré

Fonctions polynômes du second degré

Une fonction polynôme du second degré est une fonction mathématique qui peut s’écrire sous la forme :

\( f(x) = ax^2 + bx + c \)

où \( a \), \( b \) et \( c \) sont des coefficients réels et \( a \neq 0 \). Dans cette expression, \( a \) détermine l’ouverture de la parabole, \( b \) affecte la position de la courbe sur l’axe des abscisses, et \( c \) représente l'ordonnée à l'origine, c'est-à-dire la valeur de \( f(0) \).

Forme Développée et Parabole :

Forme Développée : La forme développée d'une fonction polynôme du second degré est donnée par l'expression ci-dessus, \( f(x) = ax^2 + bx + c \).
Parabole : La courbe représentative d'une fonction polynôme du second degré est une parabole.

Si \( a > 0 \), la parabole est tournée vers le haut.
Si \( a < 0 \), la parabole est tournée vers le bas.

Définition d'une fonction polynôme du second degré

Une fonction polynôme du second degré est une fonction de la forme \( f(x) = ax^2 + bx + c \), où \( a \neq 0 \).

Éléments	Description
Coefficient \( a \)	Détermine l’ouverture de la parabole.
Coefficient \( b \)	Influence la position de la courbe sur l’axe des abscisses.
Coefficient \( c \)	Représente l’ordonnée à l'origine de la parabole.

Exercice

Soit la fonction \( f(x) = 2x^2 - 4x + 1 \). Déterminez la forme développée de cette fonction et identifiez les caractéristiques de la parabole associée.

Résolution

1. Identification des coefficients :

Pour la fonction \( f(x) = 2x^2 - 4x + 1 \), nous identifions les coefficients :

\( a = 2 \)
\( b = -4 \)
\( c = 1 \)

2. Forme Développée :

La forme développée est déjà donnée par \( f(x) = 2x^2 - 4x + 1 \).

3. Caractéristiques de la Parabole :

Comme \( a = 2 > 0 \), la parabole est tournée vers le haut.
L'ordonnée à l'origine, \( c = 1 \), indique que la parabole coupe l'axe des ordonnées en \( (0, 1) \).

4. Graphique :

Bien que nous ne puissions pas tracer le graphique ici, il est important de noter que la courbe serait une parabole ouverte vers le haut avec un point d'intersection sur l'axe des ordonnées à \( (0, 1) \).

Ainsi, nous avons déterminé que la fonction polynôme du second degré \( f(x) = 2x^2 - 4x + 1 \) a une forme développée et que la parabole associée est tournée vers le haut avec un point d'intersection à \( (0, 1) \).

Fonction polynôme du second degré : sens de variation et forme canonique

La forme canonique d'une fonction polynôme du second degré, notée \( f(x) = ax^2 + bx + c \), est donnée par :

\[ f(x) = a\left(x - \alpha\right)^2 + \beta \]

où \( \alpha \) et \( \beta \) sont des constantes que l'on peut déterminer à partir des coefficients \( a \), \( b \) et \( c \) de la fonction polynôme.

Définition de \( \alpha \) et \( \beta \)

Les valeurs de \( \alpha \) et \( \beta \) sont calculées comme suit :

\( \alpha = -\frac{b}{2a} \)
\( \beta = f(\alpha) = c - \frac{b^2}{4a} \)

La fonction polynôme du second degré présente une parabole qui ouvre vers le haut si \( a > 0 \) et vers le bas si \( a < 0 \). Le sommet de la parabole est donné par le point \( (\alpha, \beta) \), qui est le maximum ou le minimum de la fonction selon le signe de \( a \).

Le sens de variation de la fonction dépend du signe de \( a \) :

Si \( a > 0 \), la fonction est décroissante sur \( ]-\infty, \alpha[ \) et croissante sur \( ]\alpha, +\infty[ \).
Si \( a < 0 \), la fonction est croissante sur \( ]-\infty, \alpha[ \) et décroissante sur \( ]\alpha, +\infty[ \).

Exercice

Soit la fonction \( f(x) = 2x^2 - 8x + 6 \). Déterminez la forme canonique de cette fonction et son sens de variation.

Résolution

Pour déterminer la forme canonique, calculons d'abord \( \alpha \) et \( \beta \) :

\(\alpha = -\frac{b}{2a} = -\frac{-8}{2 \times 2} = \frac{8}{4} = 2\)

Ensuite, calculons \( \beta \) :

\(\beta = f(\alpha) = f(2) = 2(2^2) - 8(2) + 6 = 8 - 16 + 6 = -2\)

Nous obtenons donc la forme canonique :

\[ f(x) = 2\left(x - 2\right)^2 - 2 \]

Pour le sens de variation, comme \( a = 2 > 0 \), la fonction est :

Décroissante sur \( ]-\infty, 2[ \)
Croissante sur \( ]2, +\infty[ \)

Signe d'une fonction polynôme du second degré

Soit \( f(x) = ax^2 + bx + c \) une fonction polynôme du second degré avec \( a \neq 0 \). Le signe de \( f(x) \) dépend de la position des racines de la fonction, qui sont les solutions de l'équation \( ax^2 + bx + c = 0 \).

Définition :

Une racine d'une fonction polynôme est une valeur de \( x \) pour laquelle la fonction prend la valeur zéro, c'est-à-dire \( f(x) = 0 \).

Les racines de la fonction polynôme sont déterminées par le discriminant :

\(\Delta = b^2 - 4ac\)

Cas des racines

Aucune racine réelle (\(\Delta < 0\)) :

L'équation \( ax^2 + bx + c = 0 \) n'a pas de solutions réelles.

La fonction \( f(x) \) est toujours positive si \( a > 0 \) et toujours négative si \( a < 0 \).

Tableau de signes :

Intervalle	Signe de \( f(x) \)
\( ] -\infty, +\infty[ \)	\( + \) (si \( a > 0 \)) ou \( - \) (si \( a < 0 \))

Une racine double (\(\Delta = 0\)) :

L'équation \( ax^2 + bx + c = 0 \) a une seule solution (racine double).

Forme factorisée :

\( f(x) = a(x - r)^2 \) où \( r \) est la racine double.

La fonction \( f(x) \) est positive de chaque côté de \( r \) si \( a > 0 \) et négative de chaque côté de \( r \) si \( a < 0 \). Au point \( r \), la fonction est nulle.

Tableau de signes :

Intervalle	Signe de \( f(x) \)
\( ] -\infty, r[ \)	\( + \) (si \( a > 0 \)) ou \( - \) (si \( a < 0 \))
\( \{ r \} \)	\( 0 \)
\( ] r, +\infty[ \)	\( + \) (si \( a > 0 \)) ou \( - \) (si \( a < 0 \))

Deux racines distinctes (\(\Delta > 0\)) :

L'équation \( ax^2 + bx + c = 0 \) a deux solutions distinctes.

Forme factorisée :

\( f(x) = a(x - r_1)(x - r_2) \) où \( r_1 \) et \( r_2 \) sont les racines distinctes.

Calcul de la somme et du produit des racines :

La somme des racines est donnée par :
\( S = r_1 + r_2 = -\frac{b}{a} \)
Le produit des racines est donné par :
\( P = r_1 \cdot r_2 = \frac{c}{a} \)

Le signe de \( f(x) \) dépend de la valeur de \( a \) :

\( f(x) \) est positif pour \( x < r_1 \) et \( x > r_2 \) si \( a > 0 \), et négatif entre les racines.
\( f(x) \) est négatif pour \( x < r_1 \) et \( x > r_2 \) si \( a < 0 \), et positif entre les racines.

Tableau de signes :

Tableau de signes :

Intervalle	Signe de \( f(x) \)
\( ] -\infty, r_1[ \)	\( + \) (si \( a > 0 \)) ou \( - \) (si \( a < 0 \))
\( ] r_1, r_2[ \)	\( - \) (si \( a > 0 \)) ou \( + \) (si \( a < 0 \))
\( ] r_2, +\infty[ \)	\( + \) (si \( a > 0 \)) ou \( - \) (si \( a < 0 \))

Exercice

Soit la fonction \( f(x) = 2x^2 - 4x + 1 \). Déterminer le signe de \( f(x) \) sur \( \mathbb{R} \).

Résolution

1. Calcul du discriminant :

\( \Delta = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 16 - 8 = 8 \)

Puisque \( \Delta > 0 \), la fonction a deux racines distinctes.

2. Calcul des racines :

La fonction a deux racines distinctes \( r_1 \) et \( r_2 \).

La somme des racines est :
\( S = r_1 + r_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-4}{2} = 2 \)

Le produit des racines est :
\( P = r_1 \cdot r_2 = \frac{c}{a} = \frac{1}{2} \)

3. Signe de \( f(x) \) :

- \( a = 2 > 0 \), donc \( f(x) \) est positif pour \( x < r_1 \) et \( x > r_2 \), et négatif entre \( r_1 \) et \( r_2 \).

4. Tableau de signes :

Intervalle	Signe de \( f(x) \)
\( ] -\infty, r_1[ \)	\( + \)
\( ] r_1, r_2[ \)	\( - \)
\( ] r_2, +\infty[ \)	\( + \)

Capacités attendues

Définir et calculer la dérivée d'une fonction polynôme du premier et du second degré.
Interpréter le signe d'une fonction polynôme en fonction de ses racines et de son coefficient directeur.
Utiliser le discriminant pour déterminer le nombre de racines d'une fonction polynôme du second degré.
Établir le tableau de signes d'une fonction polynôme en analysant ses racines et son comportement asymptotique.
Comprendre les concepts de variation d'une fonction et de ses extrema à partir de la dérivée.
Calculer les limites des suites numériques et leur comportement à l'infini.
Déterminer les caractéristiques des suites arithmétiques et géométriques, y compris les formules explicites et récurrentes.
Analyser le sens de variation d'une suite numérique à l'aide du rapport entre les termes consécutifs.
Identifier et appliquer des méthodes pour résoudre des équations et inégalités impliquant des fonctions polynômes.

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