Géométrie repérée

Vecteur normal à une droite

Dans le plan, une droite peut être définie par son équation cartésienne. Soit une droite $ D $ d'équation cartésienne :

$ ax + by + c = 0 $

où $ a $, $ b $ et $ c $ sont des réels. Dans cette équation, le vecteur normal à la droite $ D $ est donné par le vecteur :

$ \vec{n} = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} $

Ce vecteur normal est perpendiculaire à tous les vecteurs qui sont parallèles à la droite $ D $.

Lien avec la non-colinéarité

Pour déterminer si deux vecteurs sont colinéaires, on peut utiliser le produit scalaire. Deux vecteurs $ \vec{u} = \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \end{pmatrix} $ et $ \vec{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} $ sont colinéaires si et seulement s'il existe un réel $ k $ tel que :

$ \vec{u} = k \vec{v} $

Dans le contexte de la droite, le vecteur normal $ \vec{n} $ est non-colinéaire avec tout vecteur qui est parallèle à la droite $ D $, ce qui signifie qu'ils ne sont pas parallèles, et donc leur produit scalaire est non nul :

$ \vec{n} \cdot \vec{d} \neq 0 $

Équation cartésienne de droite

L'équation cartésienne d'une droite est souvent utilisée pour décrire les relations entre les points du plan. L'équation est donnée par :

$ ax + by + c = 0 $

Vecteur normal

Un vecteur qui est perpendiculaire à la droite et dont les coordonnées sont données par les coefficients de l'équation cartésienne.

Non-colinéarité

Deux vecteurs sont non-colinéaires si leur produit scalaire est non nul, indiquant qu'ils ne sont pas parallèles.

Équation cartésienne

Forme d'écrire une droite dans le plan, donnée par $ ax + by + c = 0 $.

Exercice

Soit la droite $ D $ d'équation cartésienne :

$ 2x - 3y + 6 = 0 $

Déterminez le vecteur normal à la droite $ D $.
Vérifiez que le vecteur $ \vec{u} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} $ est orthogonal au vecteur normal.

Résolution

1. Pour déterminer le vecteur normal à la droite $ D $, nous utilisons les coefficients de l'équation cartésienne. Ainsi, le vecteur normal est :

$ \vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix} $

2. Pour vérifier l'orthogonalité entre $ \vec{n} $ et $ \vec{u} $, nous calculons leur produit scalaire :

$ \vec{n} \cdot \vec{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} = 2 \times 3 + (-3) \times 2 $

Calculons chaque terme :

$ 2 \times 3 = 6 $
$ -3 \times 2 = -6 $

Ainsi, nous avons :

$ \vec{n} \cdot \vec{u} = 6 - 6 = 0 $

Comme le produit scalaire est égal à 0, cela signifie que les vecteurs $ \vec{n} $ et $ \vec{u} $ sont orthogonaux.

En conclusion, le vecteur normal à la droite $ D $ est $ \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix} $ et le vecteur $ \vec{u} $ est orthogonal à $ \vec{n} $.

Équation cartésienne d'une parabole et d'un cercle

Dans le plan, les équations des courbes jouent un rôle essentiel. Nous allons examiner l'équation cartésienne d'une parabole ainsi que celle d'un cercle.

Équation d'une parabole

Une parabole ayant son axe de symétrie vertical peut être exprimée sous la forme développée :

$$y = ax^2 + bx + c$$

où $a$, $b$, et $c$ sont des réels, et $a \neq 0$. Cette forme est un polynôme de degré 2.

Sommet de la parabole

Le sommet de la parabole est donné par les coordonnées :

$$S\left(-\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^2}{4a}\right)$$

Équation d'un cercle

Un cercle de centre $(x_0, y_0)$ et de rayon $r$ est défini par l'équation :

$$ (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2 $$

Exercice

Soit la parabole définie par l'équation $$y = 2x^2 - 4x + 1$$.

1. Déterminez le sommet de cette parabole.

Soit également le cercle de centre $(2, 3)$ et de rayon $5$.

2. Écrivez l'équation cartésienne de ce cercle.

Résolution

Pour déterminer le sommet de la parabole, nous appliquons la formule :

$$ S\left(-\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^2}{4a}\right) $$

Avec $a = 2$, $b = -4$ et $c = 1$, nous calculons :

$$ S\left(-\frac{-4}{2 \times 2}, \frac{4 \times 2 \times 1 - (-4)^2}{4 \times 2}\right) $$

$$ = S\left(1, \frac{8 - 16}{8}\right) $$

$$ = S\left(1, -1\right) $$

Le sommet de la parabole est donc $S(1, -1)$.

Pour l'équation du cercle, en utilisant la forme :

$$ (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2 $$

Nous avons $x_0 = 2$, $y_0 = 3$, et $r = 5$. Ainsi, l'équation du cercle s'écrit :

$$ (x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 25 $$

Capacités attendues

Identifier et caractériser un vecteur normal à une droite dans le plan.
Appliquer le produit scalaire pour déterminer la non-colinéarité de vecteurs.
Écrire et manipuler l'équation cartésienne d'une droite.
Formuler l'équation cartésienne d'une parabole en utilisant la forme développée.
Formuler l'équation cartésienne d'un cercle en utilisant la notation appropriée.
Analyser les propriétés géométriques des paraboles et des cercles à partir de leurs équations.
Utiliser les outils algébriques pour résoudre des problèmes géométriques dans le plan.

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