Fonction exponentielle

La fonction exponentielle est une fonction mathématique fondamentale qui apparaît dans divers domaines, notamment en mathématiques, physique et économie. Elle est définie comme suit :

Définition de la fonction exponentielle

La fonction exponentielle de base \( e \) est la fonction \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) définie par : \[ f(x) = \text{exp}(x) = e^x \] pour tout \( x \in \mathbb{R} \).

Pour montrer que la fonction exponentielle est unique pour la base \( e \), considérons la fonction \( f(x) = e^x \). Étant donné que \( e \) est une constante définie, nous pouvons affirmer que la fonction exponentielle est unique, car il n'existe pas deux bases positives distinctes \( a \) et \( b \) telles que \( e^x = a^x = b^x \) pour tout \( x \in \mathbb{R} \).

La fonction exponentielle est également liée aux suites géométriques. Pour une suite géométrique dont la raison est \( e \), les termes peuvent être exprimés par :

\[ u_n = u_0 \cdot e^n \] où \( u_0 \) est le premier terme de la suite. En prenant la limite lorsque \( n \) tend vers l'infini, on observe que les suites géométriques de raison \( e \) se comportent de manière similaire à la fonction exponentielle.

Tableau récapitulatif des propriétés de la fonction exponentielle

Définition de la fonction : \( f(x) = \text{exp}(x) = e^x \)
Unicité : La fonction exponentielle de base \( e \) est unique.
Lien avec les suites géométriques : Les termes \( u_n = u_0 \cdot e^n \) sont reliés à \( \text{exp}(x) \).

Exercice

Calculez \( \text{exp}(0) \), \( \text{exp}(1) \), et \( \text{exp}(2) \).

Résolution

Calcul de \( \text{exp}(0) \) : \[ \text{exp}(0) = e^0 = 1 \]
Calcul de \( \text{exp}(1) \) : \[ \text{exp}(1) = e^1 = e \approx 2,718 \]
Calcul de \( \text{exp}(2) \) : \[ \text{exp}(2) = e^2 \approx 7,389 \]

Conclusion : Les valeurs de la fonction exponentielle \( \text{exp}(x) \) pour \( x = 0, 1, 2 \) sont respectivement \( \text{exp}(0) = 1 \), \( \text{exp}(1) \approx 2,718 \), et \( \text{exp}(2) \approx 7,389 \).

Etude de la fonction exponentielle

La fonction exponentielle \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) définie par \( f(x) = e^x \) possède plusieurs propriétés algébriques essentielles. Ces propriétés sont cruciales pour comprendre son comportement et ses applications.

Propriétés algébriques de la fonction exponentielle

Produit de deux fonctions exponentielles : \( e^x \times e^y = e^{x+y} \)
Quotient de deux fonctions exponentielles : \( \frac{e^x}{e^y} = e^{x-y} \)
Puissance d'une fonction exponentielle : \( (e^x)^k = e^{kx} \)
Fonction inverse : \( e^{-x} = \frac{1}{e^x} \)

La dérivée de la fonction exponentielle est particulièrement intéressante :

\( f'(x) = \frac{d}{dx}(e^x) = e^x \)

pour tout \( x \in \mathbb{R} \). Cela signifie que la fonction exponentielle est sa propre dérivée, ce qui est une propriété unique.

La fonction exponentielle est strictement croissante sur \( \mathbb{R} \). En effet, si \( x_1 < x_2 \), alors :

\( f(x_1) < f(x_2) \)

ce qui implique que \( e^{x_1} < e^{x_2} \).

La fonction exponentielle est toujours positive :

\( e^x > 0 \)

pour tout \( x \in \mathbb{R} \).

Pour \( k \in \mathbb{R} \) et \( t \in \mathbb{R} \), la fonction \( f(t) = e^{kt} \) est également une fonction exponentielle. Sa dérivée est :

\( f'(t) = k \cdot e^{kt} \)

Ce qui montre que sa croissance dépend du signe de \( k \).

La fonction \( f(t) = e^{-kt} \) pour \( k > 0 \) décroît exponentiellement.

Exercice

Soit la fonction \( f(x) = e^{2x} \). Calculez la dérivée de \( f(x) \) et déterminez le signe de \( f(x) \) ainsi que son sens de variation.

Résolution

Calcul de la dérivée :
\( f'(x) = \frac{d}{dx}(e^{2x}) = 2e^{2x} \)
Ainsi, la dérivée de \( f(x) \) est \( f'(x) = 2e^{2x} \).
Détermination du signe de \( f(x) \) :
\( f(x) = e^{2x} > 0 \) pour tout \( x \in \mathbb{R} \).
Sens de variation :
Puisque \( f'(x) = 2e^{2x} > 0 \) pour tout \( x \in \mathbb{R} \), cela implique que \( f(x) \) est strictement croissante sur \( \mathbb{R} \).

Conclusion : La fonction \( f(x) = e^{2x} \) est toujours positive, croissante et sa dérivée est \( f'(x) = 2e^{2x} \).

Capacités attendues

Comprendre la définition de la fonction exponentielle et son unicité.
Établir des liens entre la fonction exponentielle et les suites géométriques.
Utiliser correctement la notation \(e^x\) dans des contextes variés.
Appliquer les propriétés algébriques de la fonction exponentielle.
Calculer la dérivée de la fonction exponentielle et en déduire son sens de variation.
Analyser le signe de la fonction exponentielle sur différents intervalles.
Interpréter les fonctions de la forme \(e^{kt}\) et \(e^{-kt}\) dans divers problèmes mathématiques.

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