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Dérivation locale

Taux de variation et sens de variation entre deux points

Le taux de variation d'une fonction entre deux points \(A\) et \(B\) est défini comme le rapport entre la variation de la fonction et la variation de la variable. Plus précisément, si \(A\) et \(B\) sont deux points de coordonnées \(A(x_1, y_1)\) et \(B(x_2, y_2)\), le taux de variation \(\Delta y\) entre ces deux points peut être exprimé par la formule suivante :

\[ T_{AB} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} \]

où \(f(x)\) est la fonction considérée.

Le sens de variation d'une fonction entre deux points \(A\) et \(B\) est déterminé par le signe du taux de variation \(T_{AB}\) :

  • Si \(T_{AB} > 0\), alors la fonction est croissante entre \(A\) et \(B\).
  • Si \(T_{AB} < 0\), alors la fonction est décroissante entre \(A\) et \(B\).
  • Si \(T_{AB} = 0\), alors la fonction est constante entre \(A\) et \(B\).

Taux de variation

\(T_{AB} = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}\)

Sens de variation

  • \(T_{AB} > 0\) : croissante
  • \(T_{AB} < 0\) : décroissante
  • \(T_{AB} = 0\) : constante

Exercice

Considérons la fonction \(f(x) = 2x + 3\). Déterminez le taux de variation de cette fonction entre les points \(A(1, f(1))\) et \(B(4, f(4))\). Ensuite, indiquez le sens de variation de la fonction entre ces deux points.

Résolution

1. Calcul des coordonnées des points \(A\) et \(B\) :

  • Pour \(A\) : \(A(1, f(1)) = A(1, 2 \times 1 + 3) = A(1, 5)\)
  • Pour \(B\) : \(B(4, f(4)) = B(4, 2 \times 4 + 3) = B(4, 11)\)

2. Calcul du taux de variation \(T_{AB}\) :

\[ T_{AB} = \frac{f(4) - f(1)}{4 - 1} = \frac{11 - 5}{4 - 1} = \frac{6}{3} = 2 \]

3. Interprétation du résultat :

Puisque \(T_{AB} = 2 > 0\), nous concluons que la fonction \(f(x)\) est croissante entre les points \(A\) et \(B\).

Ainsi, le taux de variation de la fonction entre les points \(A\) et \(B\) est \(2\) et la fonction est croissante dans cet intervalle.

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Nombre dérivé et sens de variation en un point

Le nombre dérivé d'une fonction en un point fournit une mesure du taux de variation instantané de la fonction à ce point. Si nous considérons une fonction \(f\) et un point \(A\) de coordonnée \(x_0\), le nombre dérivé de \(f\) en \(x_0\), noté \(f'(x_0)\), est défini par la limite suivante :

\(f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}\)

Cette expression représente le taux de variation de la fonction \(f\) à proximité du point \(x_0\). Le nombre dérivé permet de déterminer le sens de variation de la fonction à ce point :

  • Si \(f'(x_0) > 0\), alors la fonction \(f\) est croissante en \(x_0\).
  • Si \(f'(x_0) < 0\), alors la fonction \(f\) est décroissante en \(x_0\).
  • Si \(f'(x_0) = 0\), alors la fonction \(f\) est constante en \(x_0\).

Ces informations sont essentielles pour analyser le comportement d'une fonction autour d'un point donné.

Exercice

Considérons la fonction \(f(x) = x^2 - 4x + 5\). Déterminez le nombre dérivé de cette fonction en \(x_0 = 2\) et indiquez le sens de variation de la fonction à ce point.

Résolution

Pour calculer \(f'(2)\), nous allons utiliser la définition du nombre dérivé :

\(f'(2) = \lim_{h \to 0} \frac{f(2 + h) - f(2)}{h}\)

- Calculons d'abord \(f(2)\) :

\(f(2) = 2^2 - 4 \cdot 2 + 5 = 4 - 8 + 5 = 1\)

- Ensuite, calculons \(f(2 + h)\) :

\(f(2 + h) = (2 + h)^2 - 4(2 + h) + 5\)

Développons cette expression :

\(f(2 + h) = (4 + 4h + h^2) - (8 + 4h) + 5 = h^2 + 1\)

- Maintenant, substituons ces valeurs dans la définition :

\(f'(2) = \lim_{h \to 0} \frac{(h^2 + 1) - 1}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h^2}{h} = \lim_{h \to 0} h = 0\)

Puisque \(f'(2) = 0\), nous concluons que la fonction \(f(x)\) est constante en \(x_0 = 2\).

Ainsi, le nombre dérivé de la fonction en \(x_0 = 2\) est \(0\) et la fonction est constante à ce point.

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Tangente à la courbe en un point

La tangente à la courbe d'une fonction en un point donné est une droite qui touche la courbe à ce point, représentant ainsi la direction de la courbe à cet endroit précis. Pour une fonction \(f\), la tangente en un point \(A\) de la courbe \(C\) correspondant à \(A\left(a, f(a)\right)\) peut être déterminée en calculant le nombre dérivé de la fonction en ce point. Le nombre dérivé \(f'(a)\) quantifie la variation de la fonction autour de ce point, fournissant une approximation de la pente de la tangente.

Le nombre dérivé est défini comme suit :

\[ f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} \]

Cette définition permet de mesurer comment la fonction \(f\) varie lorsque l'on s'approche de \(a\). Une fois le nombre dérivé calculé, on peut exprimer l'équation de la tangente à la courbe au point \(A\) à l'aide de la formule :

\[ y - f(a) = f'(a)(x - a) \]

où \(f'(a)\) est la pente de la tangente et \(f(a)\) est l'ordonnée du point \(A\).

Exercice

Considérons la fonction \(f(x) = x^2\). Déterminons le nombre dérivé \(f'(1)\).

Résolution

1. Appliquons la définition du nombre dérivé :

\[ f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{f(1+h) - f(1)}{h} \]

2. Calculons \(f(1)\) et \(f(1+h)\) :

\[ f(1) = 1^2 = 1 \]

\[ f(1+h) = (1+h)^2 = 1 + 2h + h^2 \]

3. Remplaçons ces valeurs dans l'expression du nombre dérivé :

\[ f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{(1 + 2h + h^2) - 1}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{2h + h^2}{h} \]

4. Simplifions :

\[ f'(1) = \lim_{h \to 0} (2 + h) = 2 \]

Ainsi, le nombre dérivé \(f'(1)\) est égal à \(2\). Ce résultat représente la pente de la tangente à la courbe au point \(A(1, f(1))\).

5. L'équation de la tangente à la courbe au point \(A(1, 1)\) est alors donnée par :

\[ y - 1 = 2(x - 1) \]

Ce qui peut être réarrangé pour donner :

\[ y = 2x - 1 \]

La droite \(y = 2x - 1\) est donc la tangente à la courbe de la fonction \(f\) au point \(A(1, 1)\).

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Capacités attendues

  • Comprendre la définition et le calcul du nombre dérivé d'une fonction en un point.
  • Être capable de déterminer la tangente à la courbe d'une fonction au moyen du nombre dérivé.
  • Appliquer les concepts de taux de variation et de sens de variation entre deux points sur une fonction.
  • Être capable d'utiliser les formules de dérivation pour calculer le nombre dérivé d'une fonction.
  • Utiliser des outils mathématiques pour résoudre des problèmes liés aux dérivées et à la tangente à une courbe.
  • Interpréter graphiquement le sens de variation d'une fonction à partir de son nombre dérivé.
  • Réaliser des exercices de calcul de dérivées avec précision et clarté.
  • Travailler en autonomie pour résoudre des problèmes mathématiques impliquant des dérivées.
  • Utiliser des raisonnements logiques et des méthodes rigoureuses pour justifier les résultats obtenus dans les exercices.