Dérivation globale

Définition et calcul d'une fonction dérivée

La fonction dérivée d'une fonction \( f \) en un point \( x \) est définie comme la limite suivante, si elle existe :

Définition de la fonction dérivée

\( f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \)

Cette définition nous permet de déterminer le taux de variation de la fonction \( f \) au voisinage du point \( x \). Si cette limite existe, on dit que la fonction \( f \) est dérivable en \( x \), et la valeur \( f'(x) \) est appelée la dérivée de \( f \) en \( x \).

Exemple :

Calculons la fonction dérivée de \( f(x) = 3x^2 + 2x - 5 \) en tout point \( x \).

Exercice

Calculer la fonction dérivée de \( f(x) = 3x^2 + 2x - 5 \) en tout point \( x \).

Résolution

Application de la définition de la dérivée :
\( f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \)
Calcul de \( f(x+h) \) :
\( f(x+h) = 3(x+h)^2 + 2(x+h) - 5 \)
\( (x+h)^2 = x^2 + 2xh + h^2 \)
\( f(x+h) = 3(x^2 + 2xh + h^2) + 2(x+h) - 5 \)
\( = 3x^2 + 6xh + 3h^2 + 2x + 2h - 5 \)
Calcul de \( f(x+h) - f(x) \) :
\( f(x+h) - f(x) = (3x^2 + 6xh + 3h^2 + 2x + 2h - 5) - (3x^2 + 2x - 5) \)
\( = 6xh + 3h^2 + 2h \)
Mise en place de la formule de la dérivée :
\( f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{6xh + 3h^2 + 2h}{h} \)
Simplification :
\( f'(x) = \lim_{h \to 0} (6x + 3h + 2) \)
Calcul de la limite :
\( f'(x) = 6x + 2 \)

Résultat final : La dérivée de la fonction \( f(x) = 3x^2 + 2x - 5 \) en tout point \( x \) est :

\( f'(x) = 6x + 2 \)

Fonction dérivée des fonctions usuelles

Les fonctions usuelles ont des dérivées spécifiques que nous pouvons calculer facilement. Voici un tableau synthétique présentant les fonctions usuelles, leur dérivée et leur domaine de définition :

Fonction \( f(x) \)	Dérivée \( f'(x) \)	Domaine de définition	Domaine de dérivabilité
\( f(x) = c \)	\( f'(x) = 0 \)	\( \mathbb{R} \)	\( \mathbb{R} \)
\( f(x) = mx + p \)	\( f'(x) = m \)	\( \mathbb{R} \)	\( \mathbb{R} \)
\( f(x) = x^2 \)	\( f'(x) = 2x \)	\( \mathbb{R} \)	\( \mathbb{R} \)
\( f(x) = x^n \) (n > 0)	\( f'(x) = nx^{n-1} \)	\( \mathbb{R}^+ \)	\( \mathbb{R}^+ \)
\( f(x) = \frac{1}{x} \)	\( f'(x) = -\frac{1}{x^2} \)	\( \mathbb{R}^* \)	\( \mathbb{R}^* \)
\( f(x) = \sqrt{x} \)	\( f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \)	\( \mathbb{R}^+ \)	\( \mathbb{R}^+ \)
\( f(x) = \|x\| \)	\( f'(x) = \begin{cases} 1 & \text{si } x > 0 \\ -1 & \text{si } x < 0 \\ \text{non défini} & \text{si } x = 0 \end{cases} \)	\( \mathbb{R} \)	\( \mathbb{R}^* \)

Les dérivées des fonctions ci-dessus sont obtenues par l'application directe de la définition de la dérivée. Il est essentiel de noter que chaque fonction a un domaine de définition et un domaine de dérivabilité qui lui est propre. Certaines fonctions, comme \( f(x) = |x| \), ne sont pas dérivables en certains points, notamment à \( x = 0 \).

Exercice

Calculez la fonction dérivée des fonctions suivantes :

\( f(x) = 2x + 3 \)
\( g(x) = x^3 \)
\( h(x) = \sqrt{x} \)

Résolution

Pour \( f(x) = 2x + 3 \) :

En appliquant la règle de dérivation pour une fonction affine, la dérivée est constante :

\[ f'(x) = 2 \]

Cela signifie que pour chaque valeur de \( x \), la pente de la tangente à la courbe de la fonction est égale à 2.

Pour \( g(x) = x^3 \) :

En utilisant la formule de la dérivée pour \( f(x) = x^n \) avec \( n = 3 \), nous calculons :

\[ g'(x) = 3x^{3-1} = 3x^2 \]

Cela indique que la pente de la tangente à la courbe de \( g(x) \) varie selon \( x \).

Pour \( h(x) = \sqrt{x} \) :

En appliquant la formule de dérivation pour la racine carrée, nous obtenons :

\[ h'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \quad \text{pour } x > 0 \]

Cette dérivée est également définie uniquement pour \( x > 0 \).

Résultat final :

La fonction dérivée de \( f(x) = 2x + 3 \) est \( f'(x) = 2 \).
La fonction dérivée de \( g(x) = x^3 \) est \( g'(x) = 3x^2 \).
La fonction dérivée de \( h(x) = \sqrt{x} \) est \( h'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \) pour \( x > 0 \).

Opérations sur les fonctions dérivables

Les fonctions dérivables peuvent être combinées par différentes opérations tout en conservant leur dérivabilité. Voici un tableau récapitulatif des opérations sur les fonctions dérivables, ainsi que leurs dérivées respectives :

Tableau des opérations sur les fonctions dérivables

Opération	Formule	Dérivée
Somme de deux fonctions	\( f(x) + g(x) \)	\( f'(x) + g'(x) \)
Produit d'une fonction par un scalaire	\( k \times f(x) \) (où \( k \) est un scalaire)	\( k \times f'(x) \)
Produit de deux fonctions	\( f(x) \times g(x) \)	\( f'(x) \times g(x) + f(x) \times g'(x) \)
Quotient de deux fonctions	\( \frac{f(x)}{g(x)} \) (où \( g(x) \neq 0 \))	\( \frac{f'(x) \times g(x) - f(x) \times g'(x)}{(g(x))^2} \)

Propriétés des opérations sur les fonctions dérivables

Dérivabilité des combinaisons : Si \( f(x) \) et \( g(x) \) sont dérivables, alors les résultats des opérations ci-dessus sont également dérivables.
Domaines de définition : Le domaine de dérivabilité de l'opération dépend des domaines de \( f(x) \) et \( g(x) \).

Exercice

Soit les fonctions suivantes :

\( f(x) = x^2 \)
\( g(x) = 3x + 2 \)

Calculez les dérivées des fonctions suivantes :

\( h(x) = f(x) + g(x) \)
\( k(x) = 2 \times f(x) \)
\( m(x) = f(x) \times g(x) \)
\( n(x) = \frac{f(x)}{g(x)} \) (pour \( g(x) \neq 0 \))

Résolution

1. Calcul de \( h(x) = f(x) + g(x) \) :

\( h(x) = x^2 + (3x + 2) \)

Dérivée :

\( h'(x) = f'(x) + g'(x) = 2x + 3 \)

2. Calcul de \( k(x) = 2 \times f(x) \) :

\( k(x) = 2 \times x^2 \)

Dérivée :

\( k'(x) = 2 \times f'(x) = 2 \times 2x = 4x \)

3. Calcul de \( m(x) = f(x) \times g(x) \) :

\( m(x) = x^2 \times (3x + 2) \)

Dérivée :

\( m'(x) = f'(x) \times g(x) + f(x) \times g'(x) = (2x)(3x + 2) + (x^2)(3) = 6x^2 + 4x + 3x^2 = 9x^2 + 4x \)

4. Calcul de \( n(x) = \frac{f(x)}{g(x)} \) :

\( n(x) = \frac{x^2}{3x + 2} \)

Dérivée :

\( n'(x) = \frac{f'(x) \times g(x) - f(x) \times g'(x)}{(g(x))^2} = \frac{(2x)(3x + 2) - (x^2)(3)}{(3x + 2)^2} \)

\( n'(x) = \frac{6x^2 + 4x - 3x^2}{(3x + 2)^2} = \frac{3x^2 + 4x}{(3x + 2)^2} \)

Variations et extrema des fonctions dérivables

Lorsqu'une fonction \( f \) est dérivable sur un intervalle, on peut étudier ses variations en analysant le signe de sa dérivée \( f' \). Cela nous permet de déterminer les intervalles sur lesquels la fonction est croissante ou décroissante, ainsi que les points critiques où la dérivée s'annule.

Point critique

Un point \( x_0 \) est un point critique de la fonction \( f \) si \( f'(x_0) = 0 \) ou si \( f' \) n'est pas définie en \( x_0 \).

Pour déterminer les variations de la fonction, on procède généralement comme suit :

Calculer la dérivée \( f' \).
Résoudre l'équation \( f'(x) = 0 \) pour trouver les points critiques.
Étudier le signe de \( f' \) sur les intervalles définis par ces points critiques.
Établir un tableau de variation pour \( f \) en fonction du signe de \( f' \).

Exemple :

Soit la fonction \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x \).

Calcul de la dérivée : \( f'(x) = 3x^2 - 6x + 2 \).
Résolution de \( f'(x) = 0 \) :

Utiliser la formule quadratique pour trouver les racines.

Étude du signe de \( f' \) sur les intervalles définis par les racines.

Exercice

Soit la fonction \( g(x) = 2x^2 - 4x + 1 \).

Trouvez les variations de la fonction \( g \) sur \( \mathbb{R} \).

Résolution

1. Calcul de la dérivée : \( g'(x) = 4x - 4 \).

2. Résolution de \( g'(x) = 0 \) :

\( 4x - 4 = 0 \) implique \( x = 1 \).

3. Étude du signe de \( g' \) :

Pour \( x < 1 \), \( g'(x) < 0 \) donc \( g \) est décroissante.
Pour \( x > 1 \), \( g'(x) > 0 \) donc \( g \) est croissante.

4. Tableau de variation :

Décroissante

Intervalle	Variations
(1, +\infty)	Croissante

Capacités attendues

Comprendre et définir le concept de dérivée d'une fonction.
Calculer la dérivée d'une fonction à tous points de son domaine.
Utiliser des tables pour identifier les dérivées de fonctions de référence.
Appliquer les notions de dérivabilité pour déterminer les variations et les extrema d'une fonction.
Interpréter le signe de la dérivée pour établir des tableaux de variations.
Réaliser des exercices de résolution en détaillant les étapes de calcul.
Analyser les résultats obtenus et formuler des conclusions sur le comportement des fonctions étudiées.

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